math

Учебник Векторный анализ и теория поля для начинающих

26 уроков · 8 разделов · бесплатно, без регистрации

Начать с первого урока

Этот курс — мост между формулами многомерного анализа и интуицией. Мы пройдём путь от векторов и их произведений к функциям нескольких переменных, градиенту, дивергенции и ротору, а затем к криволинейным и поверхностным интегралам и большим теоремам — Грина, Гаусса-Остроградского и Стокса. Каждое понятие сопровождается короткой программой на стандартной библиотеке Python, которая численно подтверждает теорию: формула стоит рядом с реальным расчётом, печатающим числа. Курс подойдёт студентам технических и физических специальностей, школьникам-олимпиадникам и всем, кто хочет наконец понять, что такое $\nabla$ и зачем нужен поток векторного поля.

Курс «Векторный анализ и теория поля» состоит из 8 разделов и 26 уроков: Векторы и их произведения, Функции нескольких переменных, Градиент и его применения, Скалярные и векторные поля, Дивергенция и ротор, Криволинейные интегралы, Поверхностные интегралы и большие теоремы и Применения теории поля. Уроки идут по порядку — от основ к более сложным темам, в каждом есть объяснение с примерами, а в конце — вопросы для самопроверки. К урокам привязаны задачи с автоматической проверкой: прочитали тему — сразу закрепили её кодом.

Программа курса

  1. 1 Векторы и их произведения

    1. Векторы в пространстве: координаты, длина, направление

      Что такое вектор в координатах, как считать его длину и нормировать. Геометрический смысл и расчёт на Python.

    2. Скалярное произведение и угол между векторами

      Скалярное произведение: формула через координаты и через косинус угла, проекция, признак перпендикулярности, расчёт на Python.

    3. Векторное произведение a×b: площадь и нормаль

      Векторное произведение: определение через детерминант, направление по правилу правой руки, длина как площадь параллелограмма, расчёт на Python.

    4. Смешанное произведение и объём

      Смешанное произведение трёх векторов: формула, объём параллелепипеда, признак компланарности, ориентация, расчёт на Python.

  2. 2 Функции нескольких переменных

    1. Функции двух переменных и линии уровня

      Функция z=f(x,y) как поверхность, линии уровня (изолинии), графики и сечения. Расчёт значений на Python.

    2. Частные производные

      Частная производная как скорость изменения по одной переменной при фиксированных остальных. Численная аппроксимация на Python.

    3. Полный дифференциал и линейное приближение

      Полный дифференциал df как линейное приближение приращения функции нескольких переменных. Оценка погрешности на Python.

  3. 3 Градиент и его применения

    1. Градиент ∇f: направление наискорейшего роста

      Градиент как вектор частных производных, его направление и длина, перпендикулярность линиям уровня. Расчёт на Python.

    2. Производная по направлению

      Производная по направлению как проекция градиента на единичный вектор. Формула через скалярное произведение и проверка на Python.

    3. Касательная плоскость к поверхности

      Уравнение касательной плоскости к графику z=f(x,y) через частные производные. Нормаль и линейное приближение, расчёт на Python.

    4. Экстремумы функций нескольких переменных

      Поиск экстремумов функций двух переменных: стационарные точки, матрица Гессе, седловые точки. Численная проверка на Python.

  4. 4 Скалярные и векторные поля

    1. Что такое поле: скалярное и векторное

      Скалярное поле (температура, давление) и векторное поле (скорость, сила) как функции точки пространства. Примеры и расчёт на Python.

    2. Линии тока и силовые линии

      Линии тока векторного поля: касательная к линии совпадает с вектором поля. Построение траектории численным методом Эйлера на Python.

  5. 5 Дивергенция и ротор

    1. Дивергенция ∇·F: источники и стоки

      Дивергенция векторного поля как сумма частных производных, физический смысл источника и стока, численный расчёт на Python.

    2. Ротор ∇×F: вихри поля

      Ротор векторного поля как мера закрученности, формула через детерминант, физический смысл вихря. Численный расчёт на Python.

    3. Свойства: rot grad = 0, div rot = 0

      Тождества векторного анализа: ротор градиента и дивергенция ротора всегда равны нулю. Смысл и численная проверка на Python.

  6. 6 Криволинейные интегралы

    1. Работа поля вдоль пути

      Криволинейный интеграл второго рода как работа силового поля вдоль кривой. Параметризация и численный расчёт на Python.

    2. Потенциальные поля и независимость от пути

      Потенциальное поле как градиент потенциала, независимость работы от пути, критерий потенциальности через ротор. Проверка на Python.

    3. Циркуляция векторного поля

      Циркуляция как работа поля по замкнутому контуру, связь с ротором и вихрями. Численный расчёт циркуляции на Python.

  7. 7 Поверхностные интегралы и большие теоремы

    1. Поток векторного поля через поверхность

      Поток как поверхностный интеграл от нормальной составляющей поля. Смысл «сколько вытекает» и численный расчёт на Python.

    2. Теорема Грина: циркуляция через площадь

      Теорема Грина связывает циркуляцию поля по контуру с интегралом ротора по площади. Формула и численная проверка на Python.

    3. Теорема Гаусса-Остроградского: поток через дивергенцию

      Теорема Гаусса-Остроградского: поток поля через замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции по объёму. Численная проверка на Python.

    4. Теорема Стокса: вихри и циркуляция в пространстве

      Теорема Стокса связывает циркуляцию поля по замкнутому контуру с потоком ротора через натянутую поверхность. Смысл и проверка на Python.

  8. 8 Применения теории поля

    1. Поле тяготения и электростатики

      Гравитационное и кулоновское поля как потенциальные центральные поля. Потенциал, закон обратных квадратов и расчёт на Python.

    2. Уравнение непрерывности

      Уравнение непрерывности из закона сохранения массы и дивергенции потока. Физический смысл и численная иллюстрация на Python.

    3. Уравнения Максвелла на пальцах

      Четыре уравнения Максвелла через дивергенцию и ротор: смысл каждого простыми словами. Иллюстрация дивергенции и ротора на Python.