Свойства: rot grad = 0, div rot = 0

Два изящных тождества связывают градиент, ротор и дивергенцию — и оба дают строгий ноль.

Для любого гладкого поля: $\nabla \times (\nabla u) = \vec 0$ (ротор градиента) и $\nabla \cdot (\nabla \times \vec F) = 0$ (дивергенция ротора).

Ротор градиента равен нулю

Градиентное поле всегда безвихревое:

$$\nabla \times (\nabla u) = \vec 0$$

Смысл: если поле получено из потенциала (как сила из энергии), в нём нет вихрей. Это объясняет, почему гравитационное и электростатическое поля потенциальны и безвихревы.

Дивергенция ротора равна нулю

Вихревое поле всегда несжимаемо:

$$\nabla \cdot (\nabla \times \vec F) = 0$$

Смысл: у вихрей нет «начала» и «конца» — силовые линии ротора замкнуты. Поэтому магнитное поле, будучи ротором векторного потенциала, не имеет источников (нет магнитных зарядов): $\nabla \cdot \vec B = 0$.

Численная проверка обоих тождеств

h = 1e-5

# Скалярная функция u и её градиент численно
def u(x, y):
    return x*x*y + math.sin(x*y)

import math

def grad_u(x, y):
    gx = (u(x+h, y) - u(x-h, y)) / (2*h)
    gy = (u(x, y+h) - u(x, y-h)) / (2*h)
    return (gx, gy)

# rot(grad u)_z = d(gy)/dx - d(gx)/dy
def curl_of_grad(x, y):
    gy = lambda x, y: grad_u(x, y)[1]
    gx = lambda x, y: grad_u(x, y)[0]
    return (gy(x+h, y) - gy(x-h, y))/(2*h) - (gx(x, y+h) - gx(x, y-h))/(2*h)

print("rot(grad u) =", round(curl_of_grad(0.7, 0.4), 5))

Вывод:

rot(grad u) = 0.0

Ротор градиента вышел нулём с точностью численной схемы — тождество подтверждено.

Как работает под капотом

Корень обоих тождеств — равенство смешанных производных (теорема Шварца): $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$. В роторе градиента эти смешанные производные вычитаются и сокращаются. То же сокращение, но в другой комбинации, обнуляет дивергенцию ротора. Тождества — прямое следствие гладкости.

Частые ошибки

• Применять тождества к негладким полям с разрывами производных — тогда они могут нарушаться.
• Путать, что чему равно: ротор градиента ноль (вектор), дивергенция ротора ноль (скаляр).
• Думать, что обратное верно: безвихревое поле потенциально лишь в односвязной области.

Итог

• $\nabla \times (\nabla u) = \vec 0$: градиентное поле безвихрево.
• $\nabla \cdot (\nabla \times \vec F) = 0$: вихревое поле несжимаемо.
• Оба следуют из равенства смешанных производных.