Работа поля вдоль пути

Работа поля — это суммарный «толчок» вдоль пути: где поле помогает движению, где мешает.

Работа поля $\vec F$ вдоль кривой $C$ — криволинейный интеграл $\int_C \vec F \cdot d\vec r$, складывающий вклады поля вдоль пути.

Откуда берётся интеграл

На каждом крошечном участке $d\vec r$ поле совершает работу $\vec F \cdot d\vec r$ (скалярное произведение — проекция силы на перемещение). Суммируя по всему пути:

$$W = \int_C \vec F \cdot d\vec r = \int_a^b \vec F(\vec r(t)) \cdot \vec r\,'(t)\,dt$$

Чтобы посчитать, кривую параметризуют: задают $\vec r(t) = (x(t), y(t))$ при $t$ от $a$ до $b$. Тогда $d\vec r = \vec r\,'(t)\,dt$, и всё сводится к обычному интегралу по $t$.

Работа поля вдоль прямой

# Поле F = (y, x). Путь: от (0,0) до (1,1) по прямой
# Параметризация r(t) = (t, t), t in [0,1], r'(t) = (1, 1)
N = 100000
dt = 1.0 / N
W = 0.0
for i in range(N):
    t = (i + 0.5) * dt          # середина отрезка
    x, y = t, t
    Fx, Fy = y, x               # поле в точке
    rx, ry = 1.0, 1.0           # производная пути
    W += (Fx*rx + Fy*ry) * dt

print("Работа (численно) =", round(W, 5))
print("Точно: интеграл 2t dt от 0 до 1 =", 1.0)

Вывод:

Работа (численно) = 1.0
Точно: интеграл 2t dt от 0 до 1 = 1.0

Подынтегральное выражение $\vec F \cdot \vec r\,' = y\cdot 1 + x\cdot 1 = 2t$, интеграл от $0$ до $1$ равен $1$ — численность совпала.

Как работает под капотом

Знак работы важен: если поле в среднем «толкает вперёд» вдоль пути, работа положительна; если тормозит — отрицательна. Поэтому интеграл $\int_C \vec F \cdot d\vec r$ зависит от направления обхода кривой: пройдя путь в обратную сторону, мы меняем знак работы. Это отличает интеграл второго рода (с $d\vec r$) от интеграла первого рода (с $ds$, длиной дуги), который от направления не зависит.

Частые ошибки

• Забыть умножить на $\vec r\,'(t)$ — без производной параметризации интеграл неверен.
• Игнорировать направление обхода — знак работы зависит от него.
• Путать $d\vec r$ (вектор перемещения) и $ds$ (скалярная длина дуги).

Итог

• Работа поля вдоль пути: $W = \int_C \vec F \cdot d\vec r$.
• Считается через параметризацию: $\int_a^b \vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t)\,dt$.
• Зависит от направления обхода (меняет знак при развороте).