Циркуляция векторного поля

Циркуляция показывает, насколько поле «гонит по кругу» вдоль замкнутого контура.

Циркуляция поля $\vec F$ по замкнутому контуру $C$ — интеграл $\oint_C \vec F \cdot d\vec r$; она измеряет суммарную закрученность поля вдоль контура.

Замкнутый путь

Циркуляция — это работа поля по замкнутому контуру. Знак $\oint$ как раз подчёркивает замкнутость:

$$\Gamma = \oint_C \vec F \cdot d\vec r$$

Для потенциального поля циркуляция всегда ноль. Но если поле вихревое, циркуляция отлична от нуля — это и есть мера завихрённости в большом масштабе.

Связь с ротором

Циркуляция по маленькому контуру пропорциональна ротору внутри (это предвестник теоремы Стокса/Грина):

$$\oint_C \vec F \cdot d\vec r = \iint_S (\nabla \times \vec F)\,dS$$

То есть ротор — это «плотность циркуляции» на единицу площади.

Циркуляция поля вращения по окружности

import math

# Поле вращения F = (-y, x), контур — окружность радиуса R
R = 2.0
N = 100000
circ = 0.0
dtheta = 2*math.pi / N
for i in range(N):
    theta = (i + 0.5) * dtheta
    x = R*math.cos(theta)
    y = R*math.sin(theta)
    Fx, Fy = -y, x
    # dr = (-R sin, R cos) dtheta
    drx = -R*math.sin(theta) * dtheta
    dry =  R*math.cos(theta) * dtheta
    circ += Fx*drx + Fy*dry

print("Циркуляция (числ.) =", round(circ, 4))
print("Теория 2*pi*R^2     =", round(2*math.pi*R*R, 4))

Вывод:

Циркуляция (числ.) = 25.1327
Теория 2*pi*R^2     = 25.1327

Циркуляция вышла $2\pi R^2$. По теореме Грина это ротор ($=2$), умноженный на площадь круга ($\pi R^2$): $2 \cdot \pi R^2 = 2\pi R^2$. Совпадение не случайно.

Как работает под капотом

Циркуляция — глобальная характеристика, ротор — локальная. Теорема Грина склеивает их: суммируя «местные завихрения» (ротор) по всей площади, мы получаем «общее вращение» по границе (циркуляцию). Это та же логика, что у дивергенции и потока, только для вихря.

Частые ошибки

Считать циркуляцию потенциального поля ненулевой — у него она строго ноль.
Забывать обходить контур в одном направлении (обычно против часовой стрелки).
Путать циркуляцию (по замкнутому контуру) с обычной работой (по любому пути).

Итог

Циркуляция $\Gamma = \oint_C \vec F \cdot d\vec r$ — работа по замкнутому контуру.
Для потенциального поля $\Gamma = 0$; для вихревого — нет.
Связана с ротором через теорему Грина/Стокса.