Поток векторного поля через поверхность

Поток — это сколько поля «протекает» сквозь поверхность за единицу времени.

Поток поля $\vec F$ через поверхность $S$ — интеграл $\iint_S \vec F \cdot \vec n\,dS$ от нормальной составляющей поля.

Идея потока

Поставьте рамку в поток воды. Сколько воды пройдёт через неё, зависит от двух вещей: скорости течения и угла рамки. Если рамка вдоль течения — поток нулевой; если поперёк — максимальный. Это улавливает скалярное произведение $\vec F \cdot \vec n$:

$$\Phi = \iint_S \vec F \cdot \vec n\,dS$$

где $\vec n$ — единичная нормаль к поверхности. Только нормальная (перпендикулярная) составляющая поля даёт вклад в поток; касательная «скользит» вдоль поверхности.

Поток через прямоугольник

# Поле F = (0, 0, 3) (течёт вверх по z).
# Поверхность — квадрат в плоскости z=0, 0<=x<=2, 0<=y<=2.
# Нормаль n = (0, 0, 1).
F = (0.0, 0.0, 3.0)
n = (0.0, 0.0, 1.0)
area = 2.0 * 2.0

flux_density = sum(f*ni for f, ni in zip(F, n))  # F·n
flux = flux_density * area
print("F·n =", flux_density)
print("Поток через квадрат =", flux)

# Наклоним поле: теперь оно течёт вдоль поверхности
F2 = (5.0, 0.0, 0.0)
print("Поток поля вдоль поверхности =", sum(f*ni for f, ni in zip(F2, n)) * area)

Вывод:

F·n = 3.0
Поток через квадрат = 12.0
Поток поля вдоль поверхности = 0.0

Поле, текущее «сквозь» (вдоль нормали), даёт поток $3 \times 4 = 12$. Поле, скользящее «вдоль» поверхности, не даёт потока вовсе.

Как работает под капотом

У замкнутой поверхности нормаль обычно берут наружу. Тогда положительный поток означает «вытекает больше, чем втекает» — связь с дивергенцией налицо. Знак потока зависит от выбора направления нормали, поэтому в задачах всегда оговаривают, какую нормаль (внешнюю или внутреннюю) брать.

Частые ошибки

Брать всё поле, а не его нормальную составляющую — касательная часть в поток не входит.
Забывать нормировать нормаль $\vec n$ (она должна быть единичной).
Игнорировать направление нормали — оно определяет знак потока.

Итог

Поток $\Phi = \iint_S \vec F \cdot \vec n\,dS$ — «сколько протекает сквозь».
Вклад даёт только нормальная составляющая поля.
Для замкнутой поверхности нормаль берут наружу; знак зависит от неё.