Теорема Гаусса-Остроградского: поток через дивергенцию

Теорема Гаусса-Остроградского превращает поток сквозь поверхность в интеграл дивергенции по объёму внутри.

Теорема Гаусса-Остроградского: $\oiint_S \vec F \cdot \vec n\,dS = \iiint_V (\nabla \cdot \vec F)\,dV$.

Поверхность и объём

Слева — поток поля наружу через замкнутую поверхность $S$. Справа — суммарная «производительность источников» внутри объёма $V$:

$$\oiint_S \vec F \cdot \vec n\,dS = \iiint_V \nabla \cdot \vec F\,dV$$

Смысл прост и физичен: сколько жидкости вытекает наружу через границу, столько её и рождается внутри. Если внутри нет источников ($\nabla \cdot \vec F = 0$), то поток наружу равен нулю — сколько втекло, столько вытекло.

Проверка на кубе

# Поле F = (x, y, z). div F = 1+1+1 = 3.
# Объём — куб [0,a]^3. Правая часть = 3 * a^3.
a = 2.0
rhs = 3 * a**3

# Левая часть: поток через 6 граней куба.
# На грани x=a нормаль (1,0,0), F·n = x = a, площадь a^2.
# На грани x=0 нормаль (-1,0,0), F·n = -x = 0. И так по 3 осям.
flux = 0.0
for coord_max in (a, a, a):        # три «дальние» грани (x=a, y=a, z=a)
    flux += coord_max * (a*a)      # F·n = a, площадь a^2
# три «ближние» грани (x=0,...) дают 0
print("Поток через поверхность =", flux)
print("Интеграл div по объёму   =", rhs)

Вывод:

Поток через поверхность = 24.0
Интеграл div по объёму   = 24.0

Поток через все грани куба ($3 \times a \times a^2 = 3a^3 = 24$) точно равен интегралу дивергенции ($3 \times a^3 = 24$).

Как работает под капотом

Идея доказательства та же телескопическая: разбиваем объём на кубики, для каждого поток через грани примерно равен дивергенции, умноженной на объём. Внутренние грани соседних кубиков имеют противоположные нормали и сокращаются. Остаётся только внешняя поверхность. Эта теорема — основа уравнения непрерывности и закона Гаусса в электростатике.

Частые ошибки

Брать внутреннюю нормаль вместо внешней — знак потока перевернётся.
Применять к незамкнутой поверхности — теорема требует замкнутости (поверхность ограничивает объём).
Считать дивергенцию вектором при подстановке в объёмный интеграл — это скаляр.

Итог

Поток через замкнутую поверхность = интеграл дивергенции по объёму.
Нет источников внутри ($\nabla\cdot\vec F=0$) — нулевой поток наружу.
Фундамент уравнения непрерывности и закона Гаусса.