Теорема Грина: циркуляция через площадь

Теорема Грина превращает интеграл по контуру в интеграл по площади внутри него.

Теорема Грина: $\oint_C (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$.

Граница и внутренность

Слева — циркуляция поля $\vec F = (P, Q)$ по замкнутому контуру $C$. Справа — интеграл $z$-компоненты ротора по площади $D$, ограниченной этим контуром:

$$\oint_C \vec F \cdot d\vec r = \iint_D (\nabla \times \vec F)_z\,dA$$

Смысл: чтобы узнать общее вращение по краю, не обязательно идти по краю — можно сложить все маленькие завихрения внутри. Соседние внутренние вихри гасят друг друга, остаётся только граница.

Полезное следствие — площадь

Взяв $P = -y/2,\, Q = x/2$, получим $\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 1$, и теорема даёт площадь через контурный интеграл:

$$S = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx)$$

Проверяем теорему на круге

import math

# Поле F = (-y, x). rot_z = dQ/dx - dP/dy = 1 - (-1) = 2.
# Контур — окружность радиуса R. Площадь круга = pi R^2.
R = 1.5

# Левая часть: циркуляция по контуру
N = 100000
circ = 0.0
dth = 2*math.pi / N
for i in range(N):
    th = (i + 0.5) * dth
    x, y = R*math.cos(th), R*math.sin(th)
    Fx, Fy = -y, x
    drx, dry = -R*math.sin(th)*dth, R*math.cos(th)*dth
    circ += Fx*drx + Fy*dry

# Правая часть: rot_z * площадь = 2 * pi R^2
rhs = 2 * math.pi * R*R
print("Циркуляция (контур) =", round(circ, 4))
print("Ротор×площадь       =", round(rhs, 4))

Вывод:

Циркуляция (контур) = 14.1372
Ротор×площадь       = 14.1372

Левая и правая части совпали — теорема Грина подтверждена численно.

Как работает под капотом

Доказательство строится на «телескопическом» сокращении: область разбивают на маленькие квадратики, для каждого пишут теорему, и при суммировании внутренние стороны проходятся дважды в противоположных направлениях и сокращаются. Выживают только внешние стороны — это и есть контур $C$. Теорема Грина — двумерный частный случай теоремы Стокса.

Частые ошибки

• Обходить контур по часовой стрелке (нужна положительная ориентация — против часовой).
• Путать порядок в роторе: $\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y$, а не наоборот.
• Применять к незамкнутому контуру — теорема требует замкнутости.

Итог

• Теорема Грина: циркуляция по контуру = интеграл ротора по площади.
• Даёт изящную формулу площади через контурный интеграл.
• Это плоский частный случай теоремы Стокса.