Теорема Стокса: вихри и циркуляция в пространстве

Теорема Стокса обобщает Грина на пространство: циркуляция по контуру равна потоку ротора через любую натянутую на него поверхность.

Теорема Стокса: $\oint_C \vec F \cdot d\vec r = \iint_S (\nabla \times \vec F) \cdot \vec n\,dS$.

Контур и натянутая поверхность

Слева — циркуляция по замкнутому контуру $C$ в трёхмерном пространстве. Справа — поток ротора через любую поверхность $S$, натянутую на этот контур (как мыльная плёнка на проволочном кольце):

$$\oint_C \vec F \cdot d\vec r = \iint_S (\nabla \times \vec F) \cdot \vec n\,dS$$

Поразительно: результат не зависит от того, какую именно поверхность натянуть — лишь бы её краем был контур $C$. Все вихри внутри суммируются в циркуляцию по краю.

Связь с другими теоремами

Стокс — самая общая из трёх:

• Если поверхность плоская (лежит в $xy$), Стокс превращается в теорему Грина.
• Грин, Гаусс и Стокс — частные случаи единой обобщённой теоремы Стокса $\int_{\partial\Omega}\omega = \int_\Omega d\omega$ («интеграл по границе = интеграл от производной по области»).

Численная проверка (плоский контур)

import math

# Поле F = (-y, x, 0). rot F = (0, 0, 2).
# Контур — окружность радиуса R в плоскости z=0, нормаль n=(0,0,1).
# Поток ротора = 2 * (площадь круга) = 2 * pi R^2.
R = 1.0

# Левая часть: циркуляция
N = 100000
circ = 0.0
dth = 2*math.pi / N
for i in range(N):
    th = (i + 0.5) * dth
    x, y = R*math.cos(th), R*math.sin(th)
    Fx, Fy = -y, x
    drx, dry = -R*math.sin(th)*dth, R*math.cos(th)*dth
    circ += Fx*drx + Fy*dry

rhs = 2 * math.pi * R*R   # поток ротора
print("Циркуляция по контуру =", round(circ, 4))
print("Поток ротора через S  =", round(rhs, 4))

Вывод:

Циркуляция по контуру = 6.2832
Поток ротора через S  = 6.2832

Циркуляция ($2\pi R^2 = 2\pi$) совпала с потоком ротора ($2 \cdot \pi R^2 = 2\pi$) — теорема Стокса работает.

Как работает под капотом

Стокс объясняет, почему ротор называют «плотностью циркуляции»: поток ротора через крошечную площадку равен циркуляции по её крошечному краю. Суммируя площадки, внутренние края сокращаются (соседи обходят общую сторону в противоположных направлениях), и остаётся только внешний контур. Ориентация нормали $\vec n$ и направление обхода $C$ согласованы правилом правой руки.

Частые ошибки

• Думать, что поверхность $S$ должна быть конкретной — годится любая с краем $C$.
• Не согласовывать нормаль и направление обхода (правило правой руки нарушается — знак меняется).
• Применять Стокс к незамкнутому контуру — он требует замкнутости.

Итог

• Теорема Стокса: циркуляция по контуру = поток ротора через натянутую поверхность.
• Результат не зависит от выбора поверхности (лишь бы край был $C$).
• Грин — её плоский частный случай; все три — грани обобщённой теоремы Стокса.