Поле тяготения и электростатики

Гравитация и электростатика — две стороны одной математики: центральное потенциальное поле, спадающее как обратный квадрат.

Центральное поле направлено к/от центра и зависит только от расстояния; гравитация и кулоновская сила — его примеры.

Закон обратных квадратов

И сила тяготения, и кулоновская сила убывают как квадрат расстояния:

$$\vec F = -\frac{k}{r^2}\,\hat r$$

где $\hat r$ — единичный вектор от центра, а $k$ — константа ($GMm$ для гравитации, $\frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0}$ для электростатики). Оба поля потенциальны: у них есть потенциал, и работа не зависит от пути.

Потенциал

Поле — это градиент потенциала $\varphi$, спадающего как $1/r$:

$$\varphi(r) = -\frac{k}{r}, \qquad \vec F = -\nabla\varphi$$

Потенциальность объясняет закон сохранения энергии: работа против поля переходит в потенциальную энергию и возвращается обратно.

Поле спадает как 1/r²

import math

k = 1.0
print("r      |F|=k/r^2    phi=-k/r")
for r in (1.0, 2.0, 3.0, 4.0):
    F = k / r**2
    phi = -k / r
    print("%.1f    %.4f      %.4f" % (r, F, phi))

# Проверим: при удвоении r сила падает вчетверо
print("|F(1)|/|F(2)| =", (k/1**2) / (k/2**2))

Вывод:

r      |F|=k/r^2    phi=-k/r
1.0    1.0000      -1.0000
2.0    0.2500      -0.5000
3.0    0.1111      -0.3333
4.0    0.0625      -0.2500
|F(1)|/|F(2)| = 4.0

При удвоении расстояния сила падает ровно вчетверо — это и есть закон обратных квадратов.

Как работает под капотом

Почему именно обратный квадрат? Поток поля точечного источника через сферу любого радиуса постоянен (по теореме Гаусса). Площадь сферы растёт как $r^2$, значит плотность потока (сила) должна падать как $1/r^2$, чтобы произведение оставалось постоянным. Геометрия трёхмерного пространства диктует закон обратных квадратов.

Частые ошибки

Считать, что поле спадает как $1/r$ — как $1/r$ спадает потенциал, а сила как $1/r^2$.
Забывать знак минус: поле притяжения направлено к центру.
Думать, что центральное поле вихревое — оно потенциально, ротор ноль.

Итог

Гравитация и электростатика — центральные потенциальные поля.
Сила спадает как $1/r^2$, потенциал как $1/r$.
Закон обратных квадратов следует из геометрии (теорема Гаусса).