Уравнения Максвелла на пальцах

Вся электродинамика умещается в четыре уравнения, и каждое — это либо дивергенция, либо ротор.

Уравнения Максвелла описывают электрическое $\vec E$ и магнитное $\vec B$ поля через их дивергенцию (источники) и ротор (вихри).

Четыре закона

Весь язык, который мы построили, нужен ровно здесь. Уравнения Максвелла (в дифференциальной форме):

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad (\text{закон Гаусса})$$

$$\nabla \cdot \vec B = 0 \qquad (\text{нет магнитных зарядов})$$

$$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \qquad (\text{закон Фарадея})$$

$$\nabla \times \vec B = \mu_0\vec j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} \qquad (\text{закон Ампера-Максвелла})$$

Смысл простыми словами

• $\nabla \cdot \vec E = \rho/\varepsilon_0$: у электрического поля есть источники — заряды. Дивергенция $\vec E$ ненулевая там, где сидит заряд.
• $\nabla \cdot \vec B = 0$: у магнитного поля источников нет. Магнитных «зарядов» (монополей) не существует, силовые линии $\vec B$ замкнуты.
• $\nabla \times \vec E = -\partial\vec B/\partial t$: меняющееся магнитное поле закручивает электрическое (так работают генераторы и трансформаторы).
• $\nabla \times \vec B = \dots$: ток и меняющееся электрическое поле закручивают магнитное (так работают электромагниты и распространяется свет).

Дивергенция и ротор полей

h = 1e-6

# Поле точечного заряда (упрощённо, в 2D): E ~ (x, y)/r^2
import math
def E(x, y):
    r2 = x*x + y*y
    return (x/r2, y/r2)

def div(field, x, y):
    P = lambda x, y: field(x, y)[0]
    Q = lambda x, y: field(x, y)[1]
    return (P(x+h,y)-P(x-h,y))/(2*h) + (Q(x,y+h)-Q(x,y-h))/(2*h)

def curl_z(field, x, y):
    P = lambda x, y: field(x, y)[0]
    Q = lambda x, y: field(x, y)[1]
    return (Q(x+h,y)-Q(x-h,y))/(2*h) - (P(x,y+h)-P(x,y-h))/(2*h)

print("div E (вдали от заряда) ~", round(div(E, 1.0, 1.0), 4) + 0.0)
print("rot E (электростатика)  ~", round(curl_z(E, 1.0, 1.0), 4) + 0.0)

Вывод:

div E (вдали от заряда) ~ 0.0
rot E (электростатика)  ~ 0.0

Вдали от заряда дивергенция $\vec E$ равна нулю (источников там нет), а ротор статического поля всегда ноль (электростатика потенциальна) — ровно как предсказывают уравнения Максвелла.

Как работает под капотом

Из уравнений Максвелла в пустоте (без зарядов и токов) выводится волновое уравнение: применив ротор к закону Фарадея и подставив закон Ампера, получают $\nabla^2\vec E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial^2\vec E/\partial t^2$. Скорость волны $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ оказалась равна скорости света — так Максвелл понял, что свет это электромагнитная волна. Весь этот вывод — чистая алгебра дивергенции и ротора.

Частые ошибки

• Искать источники магнитного поля — их нет ($\nabla\cdot\vec B=0$), линии $\vec B$ всегда замкнуты.
• Считать электростатическое поле вихревым — без изменения $\vec B$ ротор $\vec E$ равен нулю.
• Забывать «ток смещения» $\mu_0\varepsilon_0\,\partial\vec E/\partial t$ — без него не было бы электромагнитных волн.

Итог

• Уравнения Максвелла — это дивергенция и ротор полей $\vec E$ и $\vec B$.
• Дивергенция отвечает за источники, ротор — за вихри и взаимопорождение полей.
• Из них следует, что свет — электромагнитная волна со скоростью $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$.