Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности — это математический закон сохранения: вещество не исчезает, оно перетекает.

Уравнение непрерывности: $\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec v) = 0$ выражает сохранение массы (заряда, энергии).

Откуда оно берётся

Возьмём фиксированный объём. Масса внутри может меняться только если вещество втекает или вытекает через границу. По теореме Гаусса-Остроградского поток через границу равен интегралу дивергенции. Приравняв скорость убыли массы к потоку наружу, получаем в каждой точке:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \vec j, \qquad \vec j = \rho\vec v$$

где $\rho$ — плотность, $\vec j$ — плотность потока. Дивергенция потока показывает, насколько быстро вещество «убегает» из точки, а это ровно скорость падения плотности.

Несжимаемость

Если плотность постоянна ($\partial\rho/\partial t = 0$ и $\rho=\text{const}$), уравнение упрощается до $\nabla \cdot \vec v = 0$ — поле скоростей несжимаемой жидкости имеет нулевую дивергенцию.

Баланс массы в ячейке

# Одномерная иллюстрация: масса в ячейке меняется на (вток - выток).
# Поток j задан на границах ячейки. dρ/dt = -(j_out - j_in)/dx.
dx = 0.5
j_in = 3.0    # втекает слева
j_out = 5.0   # вытекает справа (больше!)

drho_dt = -(j_out - j_in) / dx
print("Дивергенция потока div j =", (j_out - j_in)/dx)
print("Скорость изменения плотности dρ/dt =", drho_dt)
print("Вытекает больше — плотность падает" if drho_dt < 0 else "растёт")

Вывод:

Дивергенция потока div j = 4.0
Скорость изменения плотности dρ/dt = -4.0
Вытекает больше — плотность падает

Поскольку справа вытекает больше, чем втекает слева, дивергенция положительна, и плотность в ячейке убывает — масса честно сохраняется.

Как работает под капотом

Уравнение непрерывности универсально: для массы это сохранение вещества, для электрического заряда — $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot\vec j = 0$ (сохранение заряда), для вероятности в квантовой механике — сохранение полной вероятности. Везде одна структура: «изменение плотности + расхождение потока = 0». Это прямое следствие того, что нечто не рождается из ничего.

Частые ошибки

Забывать знак минус: рост дивергенции потока означает убыль плотности.
Путать $\rho$ (плотность) и $\vec j = \rho\vec v$ (плотность потока).
Применять упрощение $\nabla\cdot\vec v=0$ к сжимаемым средам, где плотность меняется.

Итог

Уравнение непрерывности: $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot\vec j = 0$.
Это локальный закон сохранения массы/заряда/вероятности.
Для несжимаемой среды сводится к $\nabla\cdot\vec v = 0$.