Потенциальные поля и независимость от пути

В потенциальном поле работа зависит только от концов пути — как подъём в гору зависит лишь от перепада высот.

Потенциальное поле $\vec F = \nabla u$ — поле, являющееся градиентом скалярной функции $u$ (потенциала); работа в нём не зависит от формы пути.

Главное свойство

Если $\vec F = \nabla u$, то работа выражается через значения потенциала на концах:

$$\int_C \vec F \cdot d\vec r = u(B) - u(A)$$

Это многомерный аналог формулы Ньютона-Лейбница. Следствия:

• Работа не зависит от пути, только от точек $A$ и $B$.
• По замкнутому контуру работа равна нулю: $\oint_C \vec F \cdot d\vec r = 0$.

Критерий потенциальности

Как узнать, потенциально ли поле, не ища потенциал? Проверить ротор. В односвязной области:

$$\nabla \times \vec F = \vec 0 \;\Leftrightarrow\; \vec F \text{ потенциально}$$

В 2D это условие $\partial Q/\partial x = \partial P/\partial y$.

Проверяем независимость от пути

# Потенциальное поле F = (2x, 2y), потенциал u = x^2 + y^2
def work(path_points):
    W = 0.0
    for i in range(len(path_points) - 1):
        x0, y0 = path_points[i]
        x1, y1 = path_points[i+1]
        # середина отрезка для F
        mx, my = (x0+x1)/2, (y0+y1)/2
        Fx, Fy = 2*mx, 2*my
        W += Fx*(x1-x0) + Fy*(y1-y0)
    return W

# Два разных пути из (0,0) в (1,1)
path1 = [(0,0), (1,1)]                # по диагонали
path2 = [(0,0), (1,0), (1,1)]         # по углам
print("Работа по пути 1 =", work(path1))
print("Работа по пути 2 =", work(path2))
print("u(B)-u(A) = (1+1)-(0+0) =", 2)

Вывод:

Работа по пути 1 = 2.0
Работа по пути 2 = 2.0
u(B)-u(A) = (1+1)-(0+0) = 2

Оба пути дали одинаковую работу $2$, равную перепаду потенциала — поле потенциально.

Как работает под капотом

Почему ротор-критерий не всегда обратим? В области с «дыркой» (неодносвязной) поле может быть безвихревым, но не потенциальным — классический пример поле вихря вокруг дырки, где интеграл по контуру вокруг дырки не ноль. Поэтому в формулировке всегда есть оговорка про односвязность области.

Частые ошибки

• Считать любое безвихревое поле потенциальным без проверки односвязности области.
• Забывать, что замкнутый интеграл потенциального поля строго ноль.
• Искать потенциал у поля вращения $(-y,x)$ — у него ротор не ноль, потенциала нет.

Итог

• Потенциальное поле: $\vec F = \nabla u$, работа $= u(B) - u(A)$.
• Работа не зависит от пути; по замкнутому контуру равна нулю.
• Критерий (в односвязной области): $\nabla \times \vec F = \vec 0$.