Векторы в пространстве: координаты, длина, направление

Вектор — это стрелка со смыслом: он несёт величину и направление одновременно.

Вектор — направленный отрезок, который в координатах задаётся упорядоченным набором чисел $\vec a = (a_x, a_y, a_z)$ и не меняется при параллельном переносе.

Зачем нам векторы

Скорость ветра, сила тяготения, ток воды в реке — всё это величины, у которых мало знать «сколько». Нужно ещё «куда». Число (скаляр) отвечает на первый вопрос, вектор — на оба сразу. Поэтому теория поля, к которой мы идём, целиком построена на векторах: поле — это вектор, заданный в каждой точке пространства.

В координатах вектор от точки $A=(x_1,y_1,z_1)$ к точке $B=(x_2,y_2,z_2)$ — это просто разность координат:

$$\vec{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1)$$

Длина вектора

Длина (модуль, норма) — это теорема Пифагора в трёх измерениях:

$$|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

Единичный вектор (орт) того же направления получают делением на длину: $\hat a = \vec a / |\vec a|$. Его длина равна $1$, и он хранит только направление.

Численная проверка

import math

a = (3.0, 4.0, 12.0)
length = math.sqrt(a[0]**2 + a[1]**2 + a[2]**2)
print("Длина |a| =", length)

# Нормируем
unit = tuple(c / length for c in a)
print("Орт a =", tuple(round(c, 4) for c in unit))
print("Длина орта =", round(math.sqrt(sum(c*c for c in unit)), 6))

Вывод:

Длина |a| = 13.0
Орт a = (0.2308, 0.3077, 0.9231)
Длина орта = 1.0

Как работает под капотом

Координаты вектора зависят от базиса — тройки опорных направлений $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$. Запись $(3,4,12)$ означает $3\vec e_x + 4\vec e_y + 12\vec e_z$. Сама стрелка существует независимо от базиса, а вот числа меняются, если повернуть оси. Длина при этом не меняется — она инвариант, поэтому ей можно доверять как физической величине.

Частые ошибки

Путать точку и вектор. Точка задаёт положение, вектор — смещение. Координаты у них выглядят одинаково, но складывать имеет смысл только векторы.
Забывать про знак при вычитании координат: $\vec{AB} = B - A$, а не наоборот.
Считать, что нормировка меняет направление. Она меняет только длину (делает её единичной).

Итог

Вектор = величина + направление; в координатах это набор чисел.
Длина считается по теореме Пифагора: $|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.
Орт $\hat a = \vec a/|\vec a|$ хранит чистое направление.