Функции двух переменных и линии уровня

Функция двух переменных — это рельеф: каждой точке плоскости она ставит высоту.

Функция двух переменных $z = f(x,y)$ сопоставляет паре чисел $(x,y)$ одно число $z$; её график — поверхность в пространстве.

От графика к карте

График $z=f(x,y)$ живёт в трёх измерениях, и рисовать его на бумаге неудобно. Картографы решили это давно: вместо рельефа рисуют линии уровня (изолинии) — множества точек, где $f(x,y) = \text{const}$. На топографической карте это горизонтали; на карте погоды — изобары.

Например, для параболоида $f(x,y) = x^2 + y^2$ линия уровня $f = c$ — это окружность радиуса $\sqrt{c}$:

$$x^2 + y^2 = c \;\Rightarrow\; \text{окружность радиуса } \sqrt{c}$$

Сечения

Другой способ понять поверхность — резать её плоскостями. Зафиксировав $y = y_0$, получаем функцию одной переменной $x \mapsto f(x, y_0)$ — это профиль вдоль направления $x$.

Таблица значений на Python

def f(x, y):
    return x*x + y*y

print("   x=-2  x=-1  x=0  x=1  x=2")
for y in (-2, -1, 0, 1, 2):
    row = [f(x, y) for x in (-2, -1, 0, 1, 2)]
    print("y=%2d " % y, "  ".join("%4d" % v for v in row))

Вывод:

   x=-2  x=-1  x=0  x=1  x=2
y=-2     8     5     4     5     8
y=-1     5     2     1     2     5
y= 0     4     1     0     1     4
y= 1     5     2     1     2     5
y= 2     8     5     4     5     8

Видно «дно» в центре (значение $0$) и рост к краям — это и есть чаша параболоида. Точки с одинаковым значением образуют квадратики-кольца — дискретный след окружностей-изолиний.

Как работает под капотом

Линии уровня показывают, где функция «не меняется». Чем гуще изолинии, тем круче склон (быстрее меняется $f$). Эта связь «густота изолиний = крутизна» прямо ведёт нас к градиенту: градиент всегда перпендикулярен линии уровня и направлен туда, где значения растут. Мы вернёмся к этому в разделе про градиент.

Частые ошибки

Путать линию уровня (на плоскости $xy$) с самим графиком (поверхностью в 3D).
Думать, что равные значения $f$ всегда дают окружности — форма изолиний зависит от функции (эллипсы, гиперболы, прямые).
Забывать про область определения: $f(x,y)=\ln(xy)$ существует не везде.

Итог

$z=f(x,y)$ — поверхность; её удобно изображать линиями уровня.
Изолиния — это $f(x,y)=\text{const}$; их густота показывает крутизну.
Сечения плоскостями $x=\text{const}$ или $y=\text{const}$ дают профили.