Частные производные

Частная производная — это обычная производная, если смотреть на функцию вдоль одной оси, заморозив остальные.

Частная производная $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ — скорость изменения $f$ при изменении только $x$, когда остальные переменные держат постоянными.

Идея заморозки

У функции $f(x,y)$ две «ручки настройки». Чтобы понять влияние одной, фиксируем другую. Производная по $x$ при фиксированном $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}$$

На практике дифференцируют по обычным правилам, считая $y$ константой. Для $f = x^2 y + \sin x$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + \cos x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2$$

Геометрия

$\partial f/\partial x$ — это наклон сечения поверхности плоскостью $y = \text{const}$. Вы идёте по рельефу строго на восток и измеряете крутизну подъёма.

Численная проверка (центральная разность)

import math

def f(x, y):
    return x*x*y + math.sin(x)

def partial_x(f, x, y, h=1e-6):
    return (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / (2*h)

def partial_y(f, x, y, h=1e-6):
    return (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / (2*h)

x0, y0 = 1.0, 2.0
print("df/dx числ. =", round(partial_x(f, x0, y0), 6))
print("df/dx точн. =", round(2*x0*y0 + math.cos(x0), 6))
print("df/dy числ. =", round(partial_y(f, x0, y0), 6))
print("df/dy точн. =", round(x0*x0, 6))

Вывод:

df/dx числ. = 4.540302
df/dx точн. = 4.540302
df/dy числ. = 1.0
df/dy точн. = 1.0

Как работает под капотом

Численная центральная разность $\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ точнее односторонней: её ошибка пропорциональна $h^2$, а не $h$. Это потому, что симметричная схема гасит линейный член ошибки в разложении Тейлора. Поэтому в коде мы и используем именно её — совпадение с аналитикой до шестого знака не случайно.

Частые ошибки

• Дифференцировать по $x$, забыв заморозить $y$ (например, дифференцировать $y$ как переменную).
• Брать слишком малое $h$ в численной схеме — машинная погрешность съест точность.
• Путать $\partial$ (частная) и $d$ (полная) производную — это разные операции.

Итог

• Частная производная по $x$ — производная при замороженных остальных переменных.
• Геометрически это наклон сечения поверхности.
• Численно её надёжно даёт центральная разность с ошибкой $\sim h^2$.