Что такое поле: скалярное и векторное

Поле — это «величина в каждой точке»: где бы вы ни оказались в пространстве, поле даёт вам значение.

Поле — функция, сопоставляющая каждой точке пространства число (скалярное поле) или вектор (векторное поле).

Два типа полей

Скалярное поле $u(x,y,z)$ — в каждой точке одно число. Примеры: температура в комнате, давление в атмосфере, плотность вещества, высота рельефа. Геометрия скалярного поля — поверхности уровня (изотермы, изобары).

Векторное поле $\vec F(x,y,z) = (P,\,Q,\,R)$ — в каждой точке вектор. Примеры: скорость течения воды, сила тяготения, напряжённость электрического поля. Геометрия векторного поля — стрелки и линии тока.

Связь между ними фундаментальна: градиент превращает скалярное поле в векторное:

$$\vec F = \nabla u \quad (\text{поле из потенциала})$$

Поле скоростей вращения

import math

# Поле вращения вокруг центра: F = (-y, x)
def field(x, y):
    return (-y, x)

print("Точка     Вектор поля     Длина")
for (x, y) in [(1, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 0)]:
    fx, fy = field(x, y)
    print("(%d,%d)   (%2d,%2d)        %.3f"
          % (x, y, fx, fy, math.hypot(fx, fy)))

Вывод:

Точка     Вектор поля     Длина
(1,0)   ( 0, 1)        1.000
(0,1)   (-1, 0)        1.000
(1,1)   (-1, 1)        1.414
(2,0)   ( 0, 2)        2.000

Стрелки закручиваются вокруг центра, а длина растёт с удалением — это поле вращения (как карусель).

Как работает под капотом

Поле не зависит от того, как мы его рисуем — оно объективно существует в пространстве. Координатная запись $\vec F = (P, Q, R)$ — это три скалярные функции от точки. Когда мы дальше введём дивергенцию и ротор, мы будем спрашивать поле: «ты расширяешься?» и «ты закручиваешься?» — и поле ответит числом/вектором в каждой точке.

Частые ошибки

Путать значение поля (вектор в точке) с самой точкой пространства.
Думать, что векторное поле — один вектор. Это бесконечно много векторов, по одному на точку.
Считать, что любое векторное поле — градиент. Поля вращения, например, потенциала не имеют.

Итог

Скалярное поле даёт число в каждой точке, векторное — вектор.
Градиент превращает скалярное поле в векторное: $\vec F = \nabla u$.
Поля моделируют температуру, давление, скорость, силу — всю физику сплошных сред.