Экстремумы функций нескольких переменных

В точке максимума или минимума функция «выравнивается» — её градиент обращается в ноль.

Стационарная точка — точка, где $\nabla f = \vec 0$; в ней возможен экстремум или седло.

Необходимое условие

В вершине холма и на дне впадины касательная плоскость горизонтальна, то есть все частные производные равны нулю:

$$\nabla f = \vec 0 \;\Leftrightarrow\; f_x = 0,\; f_y = 0$$

Это лишь необходимое условие: ноль градиента бывает и в седловой точке (по одной оси минимум, по другой максимум).

Достаточное условие: матрица Гессе

Чтобы различить случаи, смотрят на вторые производные. Для функции двух переменных вводят дискриминант:

$$D = f_{xx}\,f_{yy} - f_{xy}^2$$

Правило классификации стационарной точки:

$D \gt 0$ и $f_{xx} \gt 0$ — минимум (чаша вверх).
$D \gt 0$ и $f_{xx} \lt 0$ — максимум (купол).
$D \lt 0$ — седло (форма перевала).
$D = 0$ — критерий не работает, нужен особый анализ.

Классифицируем точку на Python

def classify(fxx, fyy, fxy):
    D = fxx*fyy - fxy*fxy
    if D > 0 and fxx > 0:
        return "минимум"
    if D > 0 and fxx < 0:
        return "максимум"
    if D < 0:
        return "седло"
    return "требует доп. анализа"

# f = x^2 + y^2 : (0,0) -> минимум. fxx=2, fyy=2, fxy=0
print("x^2+y^2:", classify(2, 2, 0))
# f = x^2 - y^2 : (0,0) -> седло. fxx=2, fyy=-2, fxy=0
print("x^2-y^2:", classify(2, -2, 0))
# f = -(x^2+y^2): (0,0) -> максимум
print("-(x^2+y^2):", classify(-2, -2, 0))

Вывод:

x^2+y^2: минимум
x^2-y^2: седло
-(x^2+y^2): максимум

Как работает под капотом

Дискриминант $D$ — это детерминант матрицы Гессе $\begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix}$. Знак $D$ говорит о знаках её собственных значений: оба положительны (минимум), оба отрицательны (максимум) или разные (седло). Так геометрия экстремума сводится к линейной алгебре квадратичной формы.

Частые ошибки

Считать любую стационарную точку экстремумом — седло тоже даёт $\nabla f = 0$.
Забывать проверять знак $f_{xx}$ при $D \gt 0$ (отличить минимум от максимума).
Делать вывод при $D = 0$ — там критерий молчит.

Итог

Экстремум возможен только там, где $\nabla f = \vec 0$.
Тип точки определяет дискриминант $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$.
$D \lt 0$ — седло; $D \gt 0$ — экстремум, знак $f_{xx}$ выбирает min/max.