Касательная плоскость к поверхности

Касательная плоскость — это «плоский экран», которым мы заменяем кривую поверхность в окрестности точки.

Касательная плоскость к графику $z=f(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ — плоскость, наилучшим образом приближающая поверхность вблизи этой точки.

Уравнение

Касательная плоскость собирается из частных производных — наклонов по двум осям:

$$z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)(y - y_0)$$

Это в точности полный дифференциал, записанный как уравнение плоскости. Нормаль к поверхности (перпендикуляр к касательной плоскости):

$$\vec n = (f_x,\; f_y,\; -1)$$

Зачем она нужна

Касательная плоскость лежит в основе линеаризации: компьютерная графика заменяет гладкие поверхности набором плоских граней, а методы оптимизации приближают функцию плоскостью на каждом шаге. Это «локальный плоский мир» для кривого пространства.

Сравним поверхность и плоскость

def f(x, y):
    return x*x + y*y

x0, y0 = 1.0, 1.0
fx, fy = 2*x0, 2*y0           # частные производные
f0 = f(x0, y0)

def tangent(x, y):
    return f0 + fx*(x - x0) + fy*(y - y0)

for dx in (0.0, 0.1, 0.3, 1.0):
    x, y = x0 + dx, y0
    print("dx=%.1f  поверхность=%.3f  плоскость=%.3f  разница=%.3f"
          % (dx, f(x, y), tangent(x, y), abs(f(x, y) - tangent(x, y))))

Вывод:

dx=0.0  поверхность=2.000  плоскость=2.000  разница=0.000
dx=0.1  поверхность=2.210  плоскость=2.200  разница=0.010
dx=0.3  поверхность=2.690  плоскость=2.600  разница=0.090
dx=1.0  поверхность=5.000  плоскость=4.000  разница=1.000

Вблизи точки касания плоскость почти совпадает с поверхностью, а вдали расходится — приближение локально.

Как работает под капотом

Почему нормаль равна $(f_x, f_y, -1)$? Запишем поверхность как уровень функции $F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0$. Градиент $\nabla F = (f_x, f_y, -1)$ перпендикулярен поверхности уровня $F=0$ — это и есть нормаль. Так задача о касательной плоскости сводится к градиенту функции трёх переменных.

Частые ошибки

Брать нормаль как $(f_x, f_y, 1)$ без минуса — направление перевернётся.
Применять линеаризацию далеко от точки касания, где ошибка велика.
Путать касательную плоскость к графику и касательную плоскость к поверхности уровня.

Итог

Касательная плоскость: $z = f_0 + f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$.
Нормаль к графику: $\vec n = (f_x, f_y, -1)$.
Это линеаризация — точна вблизи точки касания.