math

Учебник Математический анализ наглядно для начинающих

24 урока · 8 разделов · бесплатно, без регистрации

Начать с первого урока

Этот курс — мостик из школы в вуз. Мы берём ключевые понятия математического анализа — предел, непрерывность, производную, интеграл, ряды и многомерные функции — и для каждого даём не только формулу, но и короткую программу на чистом Python, которая численно подтверждает теорию: последовательность сходится к пределу, разностное отношение приближается к производной, сумма Римана даёт площадь, частичные суммы ряда накапливают значение функции. Вы научитесь видеть анализ как нечто проверяемое и осязаемое, а не как набор правил для зубрёжки. Формулы рендерятся красиво (KaTeX), а код реально запускается прямо в браузере и печатает числа, которые сходятся к ответу.

Курс «Математический анализ наглядно» состоит из 8 разделов и 24 уроков: Пределы и непрерывность, Производная, Правила дифференцирования, Применения производной, Интеграл, Основная теорема анализа, Ряды и Многомерное введение. Уроки идут по порядку — от основ к более сложным темам, в каждом есть объяснение с примерами, а в конце — вопросы для самопроверки. К урокам привязаны задачи с автоматической проверкой: прочитали тему — сразу закрепили её кодом.

Программа курса

  1. 1 Пределы и непрерывность

    1. Что такое предел: сходимость как приближение

      Предел функции и последовательности как процесс приближения к значению; численная проверка сходимости на чистом Python.

    2. Замечательный предел sin(x)/x

      Первый замечательный предел sin(x)/x → 1 при x→0: геометрический смысл и численная проверка на Python.

    3. Непрерывность и epsilon-delta интуитивно

      Что такое непрерывная функция, разрывы и язык epsilon-delta простыми словами с численной иллюстрацией.

    4. Бесконечные пределы и асимптоты

      Пределы на бесконечности, поведение рациональных функций и асимптоты с численной проверкой на Python.

  2. 2 Производная

    1. Производная как разностное отношение

      Определение производной через предел разностного отношения и численная проверка на Python с уменьшением шага h.

    2. Геометрический смысл: касательная

      Производная как угловой коэффициент касательной; уравнение касательной и линейное приближение функции.

    3. Производная как скорость

      Физический смысл производной: скорость и ускорение как первая и вторая производные пути по времени.

  3. 3 Правила дифференцирования

    1. Сумма, произведение, частное

      Правила дифференцирования суммы, произведения и частного функций с численной проверкой формул на Python.

    2. Цепное правило

      Цепное правило дифференцирования сложной функции: смысл, формула и численная проверка на Python.

    3. Таблица производных

      Таблица производных основных функций: степень, экспонента, логарифм, тригонометрия — с численной проверкой.

  4. 4 Применения производной

    1. Экстремумы и монотонность

      Поиск максимумов и минимумов функции через производную; критические точки и знак производной с проверкой.

    2. Выпуклость и точки перегиба

      Вторая производна и выпуклость функции: где график улыбается, где хмурится, и где точки перегиба.

    3. Метод Ньютона для корней

      Метод Ньютона поиска корней уравнения через касательные: квадратичная сходимость и симуляция на Python.

  5. 5 Интеграл

    1. Сумма Римана и площадь

      Определённый интеграл как предел суммы Римана: площадь под кривой через прямоугольники с численной проверкой.

    2. Трапеции и метод Симпсона

      Методы трапеций и Симпсона для численного интегрирования: точность выше прямоугольников, проверка на Python.

    3. Оценка числа π методом Монте-Карло

      Численная оценка числа π через интеграл и метод Монте-Карло на чистом Python: случайные точки и сходимость.

  6. 6 Основная теорема анализа

    1. Первообразная и неопределённый интеграл

      Первообразная как обратная операция к производной; неопределённый интеграл и константа интегрирования.

    2. Основная теорема: мост между ∫ и d/dx

      Основная теорема анализа: определённый интеграл через первообразную F(b)−F(a) и численное подтверждение.

  7. 7 Ряды

    1. Геометрический и гармонический ряды

      Сходимость геометрического ряда и расходимость гармонического: частичные суммы и численная проверка на Python.

    2. Знакочередующиеся ряды

      Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница: ряд для ln 2 и для π/4, численная проверка сходимости.

    3. Ряд Тейлора: функция как многочлен

      Ряд Тейлора приближает функцию многочленом: разложения exp, sin, cos и численная оценка ошибки на Python.

  8. 8 Многомерное введение

    1. Частные производные

      Частные производные функции нескольких переменных: дифференцирование по одной оси с численной проверкой.

    2. Градиент и направление наибыстрейшего роста

      Градиент как вектор частных производных, указывающий направление наибыстрейшего роста функции; проверка на Python.

    3. Градиентный спуск: поиск минимума

      Градиентный спуск как симуляция поиска минимума функции: шаги против градиента и сходимость на Python.