Бесконечные пределы и асимптоты

Что происходит с функцией «на краю мира» — при стремлении аргумента к бесконечности.

Предел на бесконечности $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ означает, что при неограниченном росте $x$ значения функции приближаются к $L$.

До сих пор мы приближали аргумент к конечной точке. Но не менее важно понять, как функция ведёт себя «на горизонте» — когда $x$ растёт без предела. Этот вопрос управляет понятием асимптоты: прямой, к которой график прижимается всё плотнее, никогда её не касаясь.

Горизонтальные асимптоты

Если $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ (конечное число), то прямая $y = L$ — горизонтальная асимптота. Классический пример — рациональная дробь. Рассмотрим:

$$f(x) = \frac{3x^2 + 5}{x^2 + 1}$$

Старшие степени числителя и знаменателя совпадают ($x^2$), поэтому на бесконечности дробь ведёт себя как отношение их коэффициентов: $\frac{3}{1} = 3$. Значит, $y = 3$ — горизонтальная асимптота.

Численная проверка

def f(x):
    return (3*x**2 + 5) / (x**2 + 1)

for x in [1, 10, 100, 1000, 100000]:
    print(f"x={x:>7}  f(x)={f(x):.8f}")

Вывод:

x=      1  f(x)=4.00000000
x=     10  f(x)=3.01980198
x=    100  f(x)=3.00019998
x=   1000  f(x)=3.00000200
x= 100000  f(x)=3.00000000

Значения сходятся к тройке. Чем больше $x$, тем теснее график прижимается к $y = 3$, но никогда её не пересекая сверху. Это и есть горизонтальная асимптота.

Вертикальные асимптоты

Вертикальная асимптота возникает там, где функция уходит в бесконечность. Для $g(x) = \frac{1}{x-2}$ при $x\to 2$ знаменатель стремится к нулю, и значения взрывообразно растут по модулю. Прямая $x = 2$ — вертикальная асимптота. Слева функция уходит в $-\infty$, справа — в $+\infty$.

Сравнение скоростей роста

Пределы на бесконечности учат сравнивать «скорости» функций. Логарифм растёт медленнее любой степени, степень — медленнее экспоненты. Например:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = 0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{x^{100}}{e^x} = 0$$

Эти факты ключевы для оценки сложности алгоритмов: они объясняют, почему экспоненциальный алгоритм безнадёжен, а логарифмический — почти бесплатен.

Как работает под капотом

Подставляя растущие $x$, мы буквально наблюдаем «гонку» числителя и знаменателя. Если оба растут с одинаковой скоростью, отношение стабилизируется на конечном числе — горизонтальной асимптоте. Если знаменатель обгоняет, предел нулевой; если числитель — бесконечный. Так численный эксперимент превращает абстрактное «сравнение бесконечностей» в наглядную таблицу убывающих или стабилизирующихся чисел.

Частые ошибки

Главная — считать, что график не может пересекать горизонтальную асимптоту. Может! Асимптота описывает поведение лишь на бесконечности; вблизи нуля функция способна её пересекать сколько угодно. Вторая ошибка — путать степени: при сравнении рациональных функций смотрят на старшие степени, а не на свободные члены. Третья — забывать про знак при подходе к вертикальной асимптоте: слева и справа функция может уходить в разные бесконечности.

Итог

Предел на бесконечности описывает поведение функции «на горизонте».
Горизонтальная асимптота — конечный предел при $x\to\infty$.
Вертикальная асимптота — там, где функция уходит в бесконечность.
Сравнение скоростей роста: $\ln \lt$ степень $\lt$ экспонента.