Замечательный предел sin(x)/x

Возле нуля синус почти неотличим от своего аргумента — отсюда главный предел тригонометрии.

Первый замечательный предел: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$, где $x$ измеряется в радианах.

Этот предел называют «замечательным» не зря: он лежит в основе производных синуса и косинуса, а значит — всей тригонометрии в анализе. На первый взгляд выражение $\frac{\sin x}{x}$ при $x=0$ — это $\frac{0}{0}$, неопределённость. Но предел существует и равен ровно единице. Понять, почему, — значит понять, как ведут себя малые углы.

Геометрический смысл

Возьмём окружность радиуса 1 и маленький угол $x$ радиан. Длина дуги, которую он вырезает, равна ровно $x$ (потому радианы и удобны). А $\sin x$ — это длина вертикального отрезка от конца дуги до горизонтальной оси. Когда угол крошечный, дуга и отрезок почти совпадают: разница между «прямой» и «слегка изогнутой» линией исчезает. Поэтому отношение $\frac{\sin x}{x}$ стремится к единице. Иначе говоря, вблизи нуля синус — это почти тождественная функция: $\sin x \approx x$.

Численная проверка

Подставим всё меньшие $x$ и посмотрим на отношение. Важно: углы в радианах.

import math

for x in [1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001]:
    ratio = math.sin(x) / x
    print(f"x={x:<8} sin(x)/x={ratio:.8f}")

Вывод:

x=1        sin(x)/x=0.84147098
x=0.5      sin(x)/x=0.95885108
x=0.1      sin(x)/x=0.99833417
x=0.01     sin(x)/x=0.99998333
x=0.001    sin(x)/x=0.99999983
x=0.0001   sin(x)/x=1.00000000

Отношение уверенно идёт к единице. При $x = 0{,}0001$ оно уже неотличимо от $1$ в восьми знаках. Это и есть «замечательность»: предел красивый и ровный.

Производные следствия

Из этого предела вытекает приближение $\sin x \approx x$ для малых углов — им пользуются физики и инженеры (маятник, оптика). Близкий по духу предел:

$$\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Он говорит, что косинус возле нуля ведёт себя как $1 - \frac{x^2}{2}$. Проверить его численно — отличное упражнение, делается тем же приёмом.

Как работает под капотом

Компьютер вычисляет $\sin x$ через свой внутренний алгоритм (по сути — через ряд Тейлора, к которому мы придём позже). Когда мы делим результат на $x$ и берём всё меньшие $x$, мы видим, как неопределённость $\frac{0}{0}$ «раскрывается» в конкретное число. Заметьте: брать $x$ совсем уж микроскопическим (вроде $10^{-16}$) опасно — там в дело вступает ошибка округления чисел с плавающей точкой, и результат может запрыгать. Численная проверка хороша на «умеренно малых» значениях.

Частые ошибки

Первая и роковая — считать углы в градусах. В градусах $\frac{\sin x}{x}$ стремится не к $1$, а к $\frac{\pi}{180} \approx 0{,}01745$. Замечательный предел верен только в радианах. Вторая ошибка — заключить, что раз в точке $0$ деление $\frac{0}{0}$, то «предела нет»: неопределённость $\frac{0}{0}$ как раз и означает, что предел надо исследовать, а не отвергать. Третья — брать слишком малый $x$ и удивляться скачкам из-за округления.

Итог

$\frac{\sin x}{x}\to 1$ при $x\to 0$, но только в радианах.
Геометрически: малая дуга почти равна своему синусу.
Следствие — приближение $\sin x \approx x$ для малых углов.
Численно предел подтверждается быстро и красиво.