Таблица производных

Готовые производные базовых функций, которые стоит знать наизусть.

Таблица производных — список производных элементарных функций, из которых по правилам собираются производные любых выражений.

Чтобы дифференцировать быстро, нужен «словарь» — производные базовых функций. Их немного, и они окупаются стократно. Зная таблицу и три правила плюс цепное правило, вы возьмёте производную практически любого школьного и вузовского выражения.

Основные формулы

В формульной записи самые важные:

$$\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1},\qquad \frac{d}{dx}e^x = e^x,\qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$

Особо отметим экспоненту: $e^x$ — единственная функция, равная своей производной. Это её определяющее свойство и причина вездесущести числа $e$.

Численная проверка всей таблицы

Проверим формулы разом в одной точке центральной разностью — она точнее.

import math

def deriv(f, x, h=1e-6):
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2*h)

x = 1.3
tests = [
    ("x^3", lambda t: t**3, 3*x**2),
    ("e^x", math.exp, math.exp(x)),
    ("ln x", math.log, 1/x),
    ("sin x", math.sin, math.cos(x)),
    ("cos x", math.cos, -math.sin(x)),
]
for name, f, theory in tests:
    print(f"{name:<6} числ.={deriv(f, x):.5f}  теория={theory:.5f}")

Вывод:

x^3    числ.=5.07000  теория=5.07000
e^x    числ.=3.66930  теория=3.66930
ln x   числ.=0.76923  теория=0.76923
sin x  числ.=0.26750  теория=0.26750
cos x  числ.=-0.96356  теория=-0.96356

Все пять формул подтверждаются до пятого знака. Центральная разность даёт отличную точность, и таблица производных оказывается не набором заклинаний, а проверяемыми фактами.

Как работает под капотом

Каждая строка таблицы выводится из определения через предел. Например, для $x^n$ раскрывают $(x+h)^n$ по биному Ньютона, вычитают $x^n$, делят на $h$ — и в пределе остаётся $n x^{n-1}$. Для $e^x$ ключ в том, что $\frac{e^h-1}{h}\to 1$. Численная проверка хороша тем, что не требует вывода: достаточно сравнить разностное отношение с табличной формулой в любой точке.

Частые ошибки

Первая — производная $\cos x$: она равна $-\sin x$ (с минусом!), а не $\sin x$. Минус теряют постоянно. Вторая — путать $\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$ с самой степенью: показатель спускается множителем и уменьшается на единицу. Третья — забывать, что производная константы строго ноль (константа не меняется, скорость её изменения нулевая). Четвёртая — для $\ln x$ помнить, что формула $1/x$ верна только при $x \gt 0$.

Итог

• $x^n \to n x^{n-1}$ — степень спускается множителем.
• $e^x$ равна своей производной; $\ln x \to 1/x$.
• $\sin x \to \cos x$, но $\cos x \to -\sin x$ (минус!).
• Производная константы равна нулю.