Сумма, произведение, частное

Три базовых правила, позволяющих дифференцировать комбинации функций.

Правила: производная суммы — сумма производных; произведения — $u'v+uv'$; частного — $\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

Вычислять производную каждый раз через предел утомительно. К счастью, математики вывели правила, которые позволяют дифференцировать любые комбинации известных функций механически. Освоив их, вы сможете находить производную почти любого школьного выражения за секунды.

Правило суммы

Самое простое: производная суммы равна сумме производных.

$$(u + v)' = u' + v'$$

Это интуитивно: если две величины меняются, их сумма меняется со скоростью, равной сумме скоростей. Аналогично выносится постоянный множитель: $(c\cdot u)' = c\cdot u'$.

Правило произведения

А вот произведение хитрее. Соблазнительно написать $(uv)' = u'v'$ — и это неверно. Правильная формула:

$$(u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'$$

Смысл: когда меняются оба множителя, итоговое изменение складывается из «$u$ изменился при неизменном $v$» плюс «$v$ изменился при неизменном $u$».

Правило частного

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}$$

Знак минус и квадрат в знаменателе нужно просто запомнить. Эта формула выводится из правила произведения, но на практике её держат в готовом виде.

Численная проверка

Проверим правило произведения для $u(x)=x^2$ и $v(x)=\sin x$ в точке $x=1$. Теория: $(uv)' = 2x\sin x + x^2\cos x$.

import math

def u(x): return x**2
def v(x): return math.sin(x)
def prod(x): return u(x) * v(x)

x = 1.0
h = 1e-6
num = (prod(x + h) - prod(x)) / h
rule = 2*x*math.sin(x) + x**2*math.cos(x)

print(f"численно (uv)'   = {num:.6f}")
print(f"по правилу u'v+uv'= {rule:.6f}")

Вывод:

численно (uv)'   = 2.223246
по правилу u'v+uv'= 2.223244

Числа совпадают (мелкое расхождение — от конечного шага $h$). Правило произведения работает, а наивное $u'v'$ дало бы совсем другое значение.

Как работает под капотом

Все эти правила — следствия определения производной через предел. Например, для произведения раскрывают $\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$, добавляют и вычитают $u(x)v(x+h)$, группируют — и в пределе получают $u'v+uv'$. Численная проверка не доказывает правило, но мгновенно ловит ошибку: если бы вы запомнили формулу неверно, числа разъехались бы заметно, а не на уровне шестого знака.

Частые ошибки

Ошибка номер один на всей планете — писать $(uv)' = u'v'$. Это грубо неверно; всегда два слагаемых. Вторая — в правиле частного перепутать знак или порядок: в числителе именно $u'v - uv'$ (производная числителя умножается на знаменатель первой). Третья — забыть квадрат знаменателя. Привычка проверять формулу численно в одной точке спасает от всех трёх.

Итог

• Сумма: $(u+v)'=u'+v'$, константа выносится.
• Произведение: $(uv)'=u'v+uv'$ — два слагаемых, не $u'v'$.
• Частное: $(u/v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Численная проверка в одной точке ловит ошибки в формулах.