Производная как скорость

Производная пути по времени — это скорость; производная скорости — ускорение.

Скорость — это мгновенная производная координаты по времени: $v(t)=s'(t)$. Ускорение — производная скорости: $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Исторически анализ родился именно из физики движения. Ньютон создавал производные, чтобы описать, как меняется положение тел. Поэтому самый осязаемый смысл производной — скорость. Если $s(t)$ — пройденный путь к моменту времени $t$, то производная $s'(t)$ говорит, насколько быстро путь растёт прямо сейчас.

Падающее тело

Классика — свободное падение. Путь камня за время $t$ описывается формулой $s(t) = \frac{g t^2}{2}$, где $g \approx 9{,}8$ м/с². Производная даёт скорость: $v(t) = s'(t) = g t$. Вторая производная — ускорение: $a(t) = v'(t) = g$, постоянное. Проверим численно, что разностное отношение пути воспроизводит формулу скорости.

g = 9.8

def s(t):
    return g * t**2 / 2

h = 1e-6
for t in [0, 1, 2, 3, 5]:
    v_num = (s(t + h) - s(t)) / h
    v_theory = g * t
    print(f"t={t}с  скорость числ.={v_num:.4f}  теория g*t={v_theory:.4f}")

Вывод:

t=0с  скорость числ.=0.0000  теория g*t=0.0000
t=1с  скорость числ.=9.8000  теория g*t=9.8000
t=2с  скорость числ.=19.6000  теория g*t=19.6000
t=3с  скорость числ.=29.4000  теория g*t=29.4000
t=5с  скорость числ.=49.0000  теория g*t=49.0000

Численная производная пути совпадает с теоретической скоростью $g t$. Камень разгоняется линейно: каждую секунду прибавляет $9{,}8$ м/с.

Знак производной = направление движения

Положительная скорость — координата растёт, тело движется вперёд. Отрицательная — назад. Нулевая скорость — мгновенная остановка (например, в верхней точке броска вверх). Так знак производной несёт физический смысл направления.

Вторая производная и кривизна

Вторая производная $s''(t)$ — ускорение. В геометрии та же вторая производная функции отвечает за выпуклость: если $f''(x) \gt 0$, график «улыбается» (выпуклость вниз), если $f''(x) \lt 0$ — «хмурится» (выпуклость вверх). Мы вернёмся к этому в разделе о применениях.

Как работает под капотом

Когда мы делим приращение пути на приращение времени, мы получаем среднюю скорость на интервале. Устремляя интервал к нулю, получаем мгновенную. Спидометр в машине — это физический «вычислитель производной»: он показывает не средний путь за поездку, а наклон графика «путь от времени» прямо сейчас. Программа делает то же самое численно.

Частые ошибки

Первая — путать среднюю и мгновенную скорость. Средняя — это весь путь, делённый на всё время; мгновенная — производная в конкретный момент. Вторая — игнорировать знак: скорость $-5$ м/с означает движение в обратную сторону, а не «медленнее, чем $5$». Третья — считать, что нулевая скорость означает нулевое ускорение: в верхней точке броска скорость ноль, а ускорение по-прежнему $g$ — именно оно разворачивает тело вниз.

Итог

Скорость — производная пути по времени: $v=s'$.
Ускорение — производная скорости: $a=v'=s''$.
Знак скорости задаёт направление движения.
Нулевая скорость не означает нулевого ускорения.