Геометрический смысл: касательная

Производная в точке — это наклон касательной прямой к графику в этой точке.

Касательная к графику $f$ в точке $x_0$ — прямая $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, наклон которой равен производной.

В предыдущем уроке мы видели, как секущая, поворачиваясь, приближается к касательной. Теперь закрепим геометрию. Производная $f'(x_0)$ — это в точности угловой коэффициент (наклон) касательной прямой. Положительная производная — функция растёт, график идёт вверх. Отрицательная — убывает. Нулевая — касательная горизонтальна, и это сигнал об экстремуме (вершине или впадине).

Уравнение касательной

Касательная проходит через точку $(x_0, f(x_0))$ с наклоном $f'(x_0)$. Уравнение прямой с заданным наклоном через заданную точку:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)$$

Эта формула — рабочая лошадка анализа. Она же даёт линейное приближение: вблизи $x_0$ сложную функцию можно заменить простой прямой. Для малых отклонений $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Численная проверка приближения

Возьмём $f(x)=\sqrt{x}$ в точке $x_0 = 4$. Там $f(4)=2$, а производная $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, то есть $f'(4)=0{,}25$. Касательная: $y = 2 + 0{,}25(x-4)$. Сравним её с настоящим корнем рядом с четвёркой.

import math

x0 = 4.0
def tangent(x):
    return 2 + 0.25 * (x - x0)

for x in [3.5, 3.9, 4.0, 4.1, 4.5]:
    real = math.sqrt(x)
    approx = tangent(x)
    print(f"x={x}  sqrt={real:.5f}  касательная={approx:.5f}  ошибка={abs(real-approx):.5f}")

Вывод:

x=3.5  sqrt=1.87083  касательная=1.87500  ошибка=0.00417
x=3.9  sqrt=1.97484  касательная=1.97500  ошибка=0.00016
x=4.0  sqrt=2.00000  касательная=2.00000  ошибка=0.00000
x=4.1  sqrt=2.02485  касательная=2.02500  ошибка=0.00015
x=4.5  sqrt=2.12132  касательная=2.12500  ошибка=0.00368

Прямо в точке касания ошибка нулевая, а рядом она крошечная и растёт с удалением. Касательная — лучшая прямая-приближение функции вблизи точки.

Где это применяется

Линейное приближение — основа физики (закон Гука, малые колебания), численных методов (метод Ньютона, к которому мы придём) и машинного обучения (градиентный спуск). Всякий раз, когда сложную функцию заменяют локально прямой, под капотом работает касательная.

Как работает под капотом

Касательная «знает» о функции две вещи: где она проходит ($f(x_0)$) и под каким углом ($f'(x_0)$). Этого достаточно, чтобы предсказать поведение функции в маленькой окрестности. Чем сильнее функция искривлена (чем больше вторая производная), тем быстрее касательная «отстаёт» от настоящего графика при удалении от точки. Поэтому ошибка приближения растёт квадратично с расстоянием.

Частые ошибки

Первая — путать касательную и секущую: секущая пересекает график в двух точках, касательная «целуется» с ним в одной. Вторая — думать, что касательная не может пересекать график: у искривлённых кривых может, особенно в точке перегиба. Третья — применять линейное приближение далеко от точки касания: там ошибка уже велика, прямая «врёт». Приближение хорошо только локально.

Итог

• Производная — наклон касательной к графику.
• Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.
• Она же даёт линейное приближение функции вблизи точки.
• Ошибка приближения растёт с удалением от точки касания.