Основная теорема: мост между ∫ и d/dx

Главная теорема всего курса: интеграл считается через первообразную на концах.

Основная теорема анализа: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, где $F$ — первообразная функции $f$.

Это, без преувеличения, центральный результат всего математического анализа. Он связывает две, казалось бы, разные вещи: дифференцирование (поиск мгновенной скорости) и интегрирование (накопление площади). Теорема утверждает: чтобы найти площадь под кривой, не нужно складывать миллионы прямоугольников — достаточно найти первообразную и вычесть её значения на концах отрезка.

Формулировка

Если $F$ — первообразная для $f$ (то есть $F'=f$), то определённый интеграл вычисляется элементарно:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Сумма Римана из тысяч слагаемых схлопывается в одну разность. Это и есть мощь теоремы: бесконечный процесс суммирования заменяется конечной арифметикой.

Почему это работает

Рассмотрим функцию площади $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ — площадь под кривой от $a$ до текущей точки $x$. Как быстро растёт эта площадь при сдвиге $x$? Ровно на высоту графика в этой точке: $A'(x)=f(x)$. То есть функция накопленной площади — это первообразная подынтегральной функции! Отсюда и формула: площадь на $[a,b]$ равна приращению первообразной.

Численное подтверждение

Сравним сумму Римана для $\int_1^3 x^2\,dx$ с ответом по теореме. Первообразная — $F(x)=x^3/3$, значит ответ $F(3)-F(1)=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}\approx 8{,}6667$.

def f(x): return x*x
def F(x): return x**3 / 3

a, b, n = 1.0, 3.0, 100000
dx = (b - a) / n
riemann = sum(f(a + (i+0.5)*dx) * dx for i in range(n))

theorem = F(b) - F(a)
print(f"сумма Римана      = {riemann:.6f}")
print(f"F(b) - F(a)       = {theorem:.6f}")
print(f"разница           = {abs(riemann - theorem):.2e}")

Вывод:

сумма Римана      = 8.666667
F(b) - F(a)       = 8.666667
разница           = 6.67e-11

Тяжёлая сумма из ста тысяч прямоугольников и лёгкая разность первообразной дают одно и то же число. Основная теорема превратила вычисление площади в школьную арифметику.

Как работает под капотом

Теорема говорит, что накопление и изменение — две стороны одной медали. Производная функции-площади в каждой точке равна высоте графика: добавляя тонкую полоску шириной $dx$, мы прибавляем площадь $f(x)\,dx$, поэтому скорость роста площади равна $f(x)$. Раз функция площади есть первообразная, её полное приращение от $a$ до $b$ и равно интегралу. Численный эксперимент это подтверждает: дорогой путь (сумма) и дешёвый (разность) совпадают.

Частые ошибки

Первая — перепутать порядок: интеграл равен $F(b)-F(a)$ (верхний предел минус нижний), а не наоборот; перестановка меняет знак. Вторая — забыть, что для теоремы $F$ должна быть первообразной именно $f$ (проверьте, что $F'=f$). Третья — применять теорему через точку разрыва: если $f$ разрывна внутри $[a,b]$, прямое использование первообразной может дать неверный ответ. Четвёртая — путать определённый интеграл (число) с неопределённым (семейство функций) — в определённом константа $C$ сокращается.

Итог

Основная теорема: $\int_a^b f\,dx = F(b)-F(a)$.
Функция накопленной площади — это первообразная: $A'=f$.
Сумма Римана и разность первообразной дают один ответ.
Порядок важен: верхний предел минус нижний.