Геометрический и гармонический ряды

Когда бесконечная сумма даёт конечное число, а когда уходит в бесконечность.

Ряд — это сумма бесконечного числа слагаемых. Он сходится, если частичные суммы стремятся к конечному пределу, и расходится иначе.

Сложить бесконечно много чисел — звучит как абсурд. Но иногда такая сумма даёт конечный результат. Как это возможно? Если слагаемые быстро убывают, их вклад тает, и сумма «накапливается» до конечного предела. Изучают ряды через частичные суммы — складывают первые $n$ слагаемых и смотрят, к чему они стремятся.

Геометрический ряд: сходится

Самый знаменитый сходящийся ряд — геометрический, где каждый член меньше предыдущего в $q$ раз. При $|q| \lt 1$:

$$\sum_{n=0}^{\infty} q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots = \frac{1}{1-q}$$

Например, для $q=\frac{1}{2}$: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots = 2$. Это та самая «дорога к стене» из первого урока — каждый шаг вдвое короче, а вся дорога конечна.

Гармонический ряд: расходится!

А вот сюрприз, ломающий интуицию. Ряд из обратных чисел:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \infty$$

Хотя слагаемые $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, сумма расходится — растёт без предела, пусть и мучительно медленно. Убывания членов к нулю недостаточно для сходимости; они должны убывать достаточно быстро.

Численная проверка обоих

geom = 0.0
harm = 0.0
for n in range(1, 1000001):
    geom += 0.5 ** (n - 1)
    harm += 1.0 / n
    if n in (10, 100, 1000, 100000, 1000000):
        print(f"n={n:>7}  геометр.={geom:.6f}  гармон.={harm:.6f}")

print("геометрический предел = 2.0 (расходится гармонический)")

Вывод:

n=     10  геометр.=1.998047  гармон.=2.928968
n=    100  геометр.=2.000000  гармон.=5.187378
n=   1000  геометр.=2.000000  гармон.=7.485471
n= 100000  геометр.=2.000000  гармон.=12.090146
n=1000000  геометр.=2.000000  гармон.=14.392727
геометрический предел = 2.0 (расходится гармонический)

Геометрический ряд застыл на $2$ — он сошёлся. А гармонический упрямо ползёт вверх: к миллиону слагаемых он перевалил за $14$ и не думает останавливаться. Это наглядная разница между сходимостью и расходимостью.

Как работает под капотом

Сходимость определяется скоростью убывания членов. Геометрический ряд убывает экспоненциально ($q^n$), и «хвост» после $n$-го члена сам по себе мал — поэтому сумма стабилизируется. Гармонический убывает лишь как $\frac{1}{n}$; его частичная сумма растёт примерно как $\ln n$ — медленно, но неограниченно. Логарифм стремится к бесконечности, поэтому и сумма расходится. Цикл частичных сумм наглядно показывает: одно число замирает, другое ползёт.

Частые ошибки

Самая коварная ошибка — считать, что раз члены ряда стремятся к нулю, ряд обязательно сходится. Гармонический ряд — вечный контрпример: члены к нулю, а сумма к бесконечности. Стремление членов к нулю — лишь необходимое условие, не достаточное. Вторая ошибка — применять формулу $\frac{1}{1-q}$ при $|q|\ge 1$: там геометрический ряд расходится, и формула бессмысленна. Третья — судить о сходимости по первым нескольким членам: гармонический поначалу растёт быстро, потом еле-еле, но всё равно бесконечно.

Итог

Ряд сходится, если частичные суммы стремятся к конечному пределу.
Геометрический ряд при $|q|\lt 1$ сходится к $\frac{1}{1-q}$.
Гармонический ряд расходится, хотя члены стремятся к нулю.
Стремление членов к нулю — необходимое, но не достаточное условие.