Знакочередующиеся ряды

Чередование плюсов и минусов спасает даже расходящиеся по модулю ряды.

Знакочередующийся ряд — ряд, члены которого по очереди меняют знак. По признаку Лейбница он сходится, если члены по модулю монотонно убывают к нулю.

Мы видели, что гармонический ряд $\sum\frac{1}{n}$ расходится. Удивительно, но стоит расставить чередующиеся знаки — и ряд начинает сходиться! Это сила знакочередования: соседние члены частично гасят друг друга, и сумма стабилизируется. Такие ряды важны и красивы — через них выражаются $\ln 2$ и даже $\pi$.

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд $\sum (-1)^{n+1} a_n$ сходится, если положительные члены $a_n$ монотонно убывают и стремятся к нулю. Более того, ошибка приближения суммы первыми $n$ членами не превосходит первого отброшенного члена — очень удобная оценка.

Ряд для ln 2

Знакочередующийся гармонический ряд сходится к логарифму двух:

$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2 \approx 0{,}6931$$

Ряд Лейбница для π

А этот ряд — один из самых элегантных в математике, выражает $\pi$ через нечётные числа:

$$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$$

Численная проверка

import math

ln2 = 0.0
pi4 = 0.0
for n in range(1, 100001):
    sign = 1 if n % 2 == 1 else -1
    ln2 += sign / n
    pi4 += sign / (2*n - 1)
    if n in (10, 100, 10000, 100000):
        print(f"n={n:>6}  ln2~{ln2:.6f}  pi~{4*pi4:.6f}")

print(f"истинные: ln2={math.log(2):.6f}  pi={math.pi:.6f}")

Вывод:

n=    10  ln2~0.645635  pi~3.041840
n=   100  ln2~0.688172  pi~3.131593
n= 10000  ln2~0.693097  pi~3.141493
n=100000  ln2~0.693142  pi~3.141583
истинные: ln2=0.693147  pi=3.141593

Обе суммы сходятся к своим знаменитым константам. Заметьте, сходятся они медленно — это плата за простоту: чтобы получить $\pi$ с точностью до пятого знака, нужны десятки тысяч членов. Но сам факт, что $\pi$ выражается через нечётные числа с чередующимися знаками, завораживает.

Как работает под капотом

Частичные суммы знакочередующегося ряда «зажаты» между последовательными приближениями: чётные частичные суммы подходят к пределу снизу, нечётные — сверху, и интервал между ними сжимается до нуля. Поэтому предел существует и лежит внутри «вилки». Именно отсюда оценка ошибки через первый отброшенный член: следующий член задаёт ширину вилки. Цикл наглядно показывает эти колебания, затухающие к ответу.

Частые ошибки

Первая — забыть проверить монотонное убывание членов: без него признак Лейбница не гарантирует сходимость. Вторая — перепутать знак первого члена и сбить чередование. Третья — путать сходимость условную и абсолютную: знакочередующийся гармонический ряд сходится условно (ряд из модулей расходится!), и его сумму нельзя переставлять — перестановка членов может изменить результат. Четвёртая — ожидать быстрой сходимости: ряд Лейбница для $\pi$ красив, но для практики слишком медленный.

Итог

• Знакочередующийся ряд сходится при монотонном убывании членов к нулю (Лейбниц).
• $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots = \ln 2$.
• $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots = \frac{\pi}{4}$.
• Ошибка не превосходит первого отброшенного члена.