Первообразная и неопределённый интеграл

Интегрирование — это дифференцирование наоборот: ищем функцию по её производной.

Первообразная функции $f$ — это функция $F$, производная которой равна $f$: $F'(x)=f(x)$.

До сих пор мы умели по функции находить производную. Но что, если задача обратная: известна скорость, найти путь? Известно ускорение, найти скорость? Это и есть поиск первообразной — операция, обратная дифференцированию. Если производная «разбирает» функцию, то первообразная «собирает» её обратно.

Определение и обозначение

Функция $F$ называется первообразной для $f$, если $F'=f$. Например, для $f(x)=2x$ первообразная — $F(x)=x^2$, ведь $(x^2)'=2x$. Неопределённый интеграл обозначает всё семейство первообразных:

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

Зачем константа C

Ключевая тонкость: первообразная не единственна. Если $F'=f$, то и $(F+5)'=f$, ведь производная константы — ноль. Поэтому к любой первообразной можно прибавить произвольную константу $C$, и она останется первообразной. Геометрически это семейство параллельных кривых, сдвинутых по вертикали, — у всех одинаковый наклон в каждой точке.

Таблица первообразных

Она получается обращением таблицы производных:

Численная проверка

Проверим, что $F(x)=x^3/3$ — первообразная для $f(x)=x^2$: продифференцируем $F$ численно и сравним с $f$.

def F(x): return x**3 / 3
def f(x): return x**2

h = 1e-6
for x in [0.5, 1.0, 2.0, 3.0]:
    dF = (F(x+h) - F(x-h)) / (2*h)
    print(f"x={x}  F'(x)={dF:.6f}  f(x)={f(x):.6f}")

Вывод:

x=0.5  F'(x)=0.250000  f(x)=0.250000
x=1.0  F'(x)=1.000000  f(x)=1.000000
x=2.0  F'(x)=4.000000  f(x)=4.000000
x=3.0  F'(x)=9.000000  f(x)=9.000000

Производная нашей $F$ во всех точках совпала с $f$. Значит, $x^3/3$ действительно первообразная для $x^2$ — интегрирование и дифференцирование взаимно обратны.

Как работает под капотом

Поиск первообразной — это «угадывание с проверкой»: мы предполагаем формулу $F$ и дифференцируем её, чтобы убедиться, что получается $f$. Правило для степени работает так: при дифференцировании показатель спускается и уменьшается на единицу, поэтому при интегрировании мы делаем обратное — увеличиваем показатель на единицу и делим на новый показатель. Случай $n=-1$ выпадает (делить на ноль нельзя), и там первообразная — логарифм.

Частые ошибки

Первая — забыть константу $C$ в неопределённом интеграле: без неё ответ неполон. Вторая — применить правило $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ к $\frac{1}{x}$ (то есть $n=-1$): получится деление на ноль; для $1/x$ первообразная — $\ln|x|$. Третья — потерять модуль в $\ln|x|$: логарифм определён только для положительных аргументов. Четвёртая — путать знаки у тригонометрии: первообразная $\sin x$ — это $-\cos x$.

Итог

• Первообразная $F$ — функция, чья производная равна $f$.
• Неопределённый интеграл — семейство $F(x)+C$.
• Константа $C$ обязательна: производная константы равна нулю.
• Таблица первообразных — обращение таблицы производных.