Сумма Римана и площадь

Интеграл — это площадь под кривой, собранная из тонких прямоугольников.

Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — предел суммы площадей прямоугольников, на которые разбита область под графиком.

Если производная отвечает на вопрос «как быстро меняется», то интеграл — на вопрос «сколько накопилось». Геометрически интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь фигуры между графиком $f$ и осью на отрезке $[a, b]$. Но как посчитать площадь под кривой, если она не прямоугольник и не треугольник? Идея Римана: разрезать её на множество тонких полосок-прямоугольников и сложить.

Сумма Римана

Разобьём отрезок $[a, b]$ на $n$ равных кусочков шириной $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Над каждым кусочком построим прямоугольник высотой $f(x_i)$. Сумма их площадей приближает интеграл:

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$

Чем больше прямоугольников $n$, тем тоньше полоски и точнее приближение. В пределе $n\to\infty$ сумма становится точным интегралом. Значок $\int$ — это и есть вытянутая «S» от слова «сумма».

Численная проверка

Посчитаем $\int_0^1 x^2\,dx$. Точное значение по формуле первообразной — $\frac{1}{3}\approx 0{,}3333$. Проверим суммой Римана с растущим $n$.

def f(x): return x*x

a, b = 0.0, 1.0
for n in [4, 10, 100, 1000, 100000]:
    dx = (b - a) / n
    total = 0.0
    for i in range(n):
        xi = a + (i + 0.5) * dx   # середина полоски
        total += f(xi) * dx
    print(f"n={n:>6}  сумма Римана = {total:.8f}")

print("точное значение 1/3 = 0.33333333")

Вывод:

n=     4  сумма Римана = 0.32812500
n=    10  сумма Римана = 0.33250000
n=   100  сумма Римана = 0.33332500
n=  1000  сумма Римана = 0.33333325
n=100000  сумма Римана = 0.33333333
точное значение 1/3 = 0.33333333

Сумма уверенно сходится к $\frac{1}{3}$. Мы взяли середину каждой полоски (метод средних прямоугольников) — он точнее, чем брать левый или правый край. Площадь под параболой собралась из тонких столбиков.

Накопление как смысл

Интеграл — это не только площадь. Если $f(t)$ — скорость, то $\int_a^b f(t)\,dt$ — пройденный путь. Если $f(t)$ — мощность, интеграл даёт энергию. Везде, где надо «просуммировать непрерывно меняющуюся величину», работает интеграл.

Как работает под капотом

Цикл буквально строит прямоугольники: для каждого кусочка берёт его ширину $\Delta x$ и высоту $f(x_i)$, перемножает и накапливает. Когда полоски тонкие, их верхние края почти ложатся на кривую, и сумма площадей практически равна площади под графиком. Это прямое воплощение определения интеграла — мы не вызываем готовую функцию, а собираем площадь руками.

Частые ошибки

Первая — забыть домножить высоту на ширину $\Delta x$: тогда вы сложите высоты, а не площади. Вторая — брать слишком мало прямоугольников и довольствоваться грубым приближением. Третья — путать, какую точку полоски брать за высоту: левый край, правый или середину дают разную точность (середина обычно лучше). Четвёртая — игнорировать знак: ниже оси площадь считается отрицательной, интеграл может выйти отрицательным.

Итог

Интеграл — площадь под кривой, предел суммы Римана.
$\int_a^b f\,dx \approx \sum f(x_i)\Delta x$; чем больше $n$, тем точнее.
Высота полоски умножается на ширину $\Delta x$.
Интеграл накапливает: путь из скорости, энергию из мощности.