Учебник Занимательная математика для начинающих

Программа курса

1. 1 Простые числа

   1. Решето Эратосфена

      Древний и до сих пор быстрый способ найти все простые числа до заданной границы — решето Эратосфена с кодом на Python.

   2. Бесконечность простых чисел

      Доказательство Евклида о бесконечности простых чисел и его проверка в коде: простые никогда не кончаются.

   3. Как простые редеют: закон распределения

      Теорема о распределении простых чисел: плотность простых около n убывает как 1/ln n, проверка формулы pi(n) ~ n/ln n.

   4. Простые-близнецы

      Пары простых, отличающихся на 2: близнецы, гипотеза о их бесконечности и поиск близнецов в коде.

2. 2 Золотое сечение и Фибоначчи

   1. Золотое сечение: число фи

      Что такое золотое сечение, откуда берётся число фи и почему оно удовлетворяет уравнению фи в квадрате равно фи плюс один.

   2. Числа Фибоначчи

      Последовательность Фибоначчи: правило сложения двух предыдущих чисел, кролики Фибоначчи и вычисление в коде.

   3. Формула Бине и сходимость к фи

      Формула Бине выражает n-е число Фибоначчи через золотое сечение, а отношение соседних чисел стремится к фи.

   4. Спирали в природе и золотой угол

      Почему растения раскладывают семена под золотым углом 137,5 градуса и как из чисел Фибоначчи рождаются спирали.

3. 3 Фракталы

   1. Множество Мандельброта

      Множество Мандельброта: простая итерация z в квадрате плюс c рождает бесконечно сложную границу — печатаем ASCII-карту.

   2. Самоподобие и размерность Хаусдорфа

      Что такое самоподобие фракталов и почему их размерность бывает дробной: формула размерности через число копий и масштаб.

   3. Треугольник Серпинского

      Треугольник Серпинского: три способа его построить — рекурсия, чётность биномиальных коэффициентов и игра в хаос.

4. 4 Числовые диковинки

   1. Совершенные числа

      Совершенные числа равны сумме своих делителей: 6, 28, 496. Их связь с простыми Мерсенна и поиск в коде.

   2. Дружественные числа

      Дружественные пары: каждое число равно сумме делителей другого. Классическая пара 220 и 284 и поиск пар в коде.

   3. Числа Армстронга и палиндромы

      Числа Армстронга (нарциссические) равны сумме своих цифр в степени, а числа-палиндромы читаются одинаково в обе стороны.

   4. Гипотеза Коллатца

      Гипотеза Коллатца 3n+1: любое число рано или поздно приходит к единице. Симуляция длины траекторий на Python.

5. 5 Геометрия и константы

   1. Число пи: ряд Лейбница

      Число пи можно получить из бесконечного ряда Лейбница: пи делить на 4 равно 1 минус треть плюс пятая и так далее.

   2. Число пи методом Монте-Карло

      Метод Монте-Карло: бросаем случайные точки в квадрат и по доле попавших в круг оцениваем число пи.

   3. Число e и его ряд

      Число e — основание натурального логарифма — через сумму обратных факториалов и предел сложных процентов.

   4. Пифагоровы тройки

      Теорема Пифагора и целочисленные пифагоровы тройки: как найти все a, b, c с a в квадрате плюс b в квадрате равно c в квадрате.

   5. Формула Эйлера: самое красивое тождество

      Формула Эйлера связывает e, i и пи: e в степени i пи плюс один равно нулю — самое красивое уравнение математики.

6. 6 Комбинаторные чудеса

   1. Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты

      Треугольник Паскаля строится сложением соседей и хранит биномиальные коэффициенты — число способов выбрать k из n.

   2. Числа Каталана

      Числа Каталана 1, 1, 2, 5, 14, 42 считают правильные скобочные последовательности, триангуляции и пути.

   3. Принцип Дирихле

      Принцип Дирихле: если предметов больше, чем ящиков, в каком-то ящике окажется минимум два. Простое правило с мощными следствиями.

   4. Парадокс дней рождения

      Парадокс дней рождения: уже в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения превышает 50 процентов.

7. 7 Теория графов наглядно

   1. Мосты Кёнигсберга и эйлеровы пути

      Задача о семи мостах Кёнигсберга породила теорию графов: пройти по каждому мосту ровно раз можно лишь при условии на чётность.

   2. Формула Эйлера для многогранников

      Для любого выпуклого многогранника число вершин минус рёбер плюс граней равно двум: V - E + F = 2.

   3. Раскраска карт: теорема о четырёх красках

      Любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы соседние страны различались — знаменитая теорема о четырёх красках.

   4. Кратчайшие пути: поиск в ширину

      Поиск в ширину находит кратчайший путь в графе по числу рёбер — основа навигаторов и социальных сетей.

8. 8 Бесконечность и парадоксы

   1. Счётная бесконечность: отель Гильберта

      Бесконечный отель Гильберта вмещает новых гостей даже когда полон — наглядная модель счётной бесконечности.

   2. Диагональ Кантора: несчётность вещественных чисел

      Диагональный метод Кантора доказывает, что вещественных чисел больше, чем натуральных: существуют разные бесконечности.

   3. Почему 0,999... = 1

      Бесконечная дробь 0,999... в точности равна единице — три строгих доказательства этого нестрашного равенства.

   4. Парадокс Банаха — Тарского на пальцах

      Парадокс Банаха — Тарского: шар можно разрезать на части и собрать из них два таких же шара. Как это возможно.