Почему 0,999... = 1
Бесконечная дробь $0{,}999\ldots$ не «почти единица», а ровно единица — и это можно доказать тремя способами.
Периодическая дробь $0{,}999\ldots$ — запись, в которой после запятой бесконечно много девяток; она равна числу 1.
Мало какое математическое утверждение вызывает столько споров среди новичков. Кажется, что $0{,}999\ldots$ «чуть-чуть меньше» единицы. Но это иллюзия конечного мышления: между ними нет никакого зазора, а значит, это одно и то же число.
Три доказательства
Алгебраическое. Пусть $x = 0{,}999\ldots$ Умножим на 10: $10x = 9{,}999\ldots$ Вычтем исходное:
$$10x - x = 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots = 9, \quad \text{значит } 9x = 9, \quad x = 1.$$
Через дроби. Известно, что $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ Умножим обе части на 3: $3 \cdot \frac{1}{3} = 0{,}999\ldots$, то есть $1 = 0{,}999\ldots$
Через сумму ряда. Дробь $0{,}999\ldots$ — это геометрическая прогрессия:
$$0{,}999\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{9}{10^k} = \frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1.$$
from fractions import Fraction
# Складываем частичные суммы 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
partial = Fraction(0)
for k in range(1, 9):
partial += Fraction(9, 10 ** k)
print(f"после {k} девяток: {float(partial):.8f} (точно {partial})")
# Сумма всей геометрической прогрессии
total = Fraction(9, 10) / (1 - Fraction(1, 10))
print("Сумма всей прогрессии 0.999... =", total)Вывод:
после 1 девяток: 0.90000000 (точно 9/10) после 2 девяток: 0.99000000 (точно 99/100) после 3 девяток: 0.99900000 (точно 999/1000) после 4 девяток: 0.99990000 (точно 9999/10000) после 5 девяток: 0.99999000 (точно 99999/100000) после 6 девяток: 0.99999900 (точно 999999/1000000) после 7 девяток: 0.99999990 (точно 9999999/10000000) после 8 девяток: 0.99999999 (точно 99999999/100000000) Сумма всей прогрессии 0.999... = 1
Как работает под капотом
Частичные суммы $0{,}9,\ 0{,}99,\ 0{,}999,\dots$ подбираются к единице сколь угодно близко, но каждая по отдельности меньше 1. Однако $0{,}999\ldots$ — это не любая частичная сумма, а их предел, бесконечная дробь целиком. А предел этой последовательности в точности равен 1. Формула суммы геометрической прогрессии $\frac{a}{1-q}$ при $a = 9/10$ и $q = 1/10$ даёт ровно 1 — без всякого «почти». Главный аргумент: между $0{,}999\ldots$ и 1 нельзя вставить ни одного числа, а в системе вещественных чисел разные числа всегда разделены другими. Раз разделить нечем — числа совпадают.
Частые ошибки
Не путайте бесконечную дробь с её обрывками: любая конечная $0{,}99\ldots9$ меньше 1, но бесконечная — равна. «Бесконечно малый зазор» в стандартной вещественной системе не существует. И запись неоднозначна: $1 = 1{,}000\ldots = 0{,}999\ldots$ — у некоторых чисел два десятичных представления.
Итог
- $0{,}999\ldots = 1$ — строгое равенство, а не приближение.
- Доказательства: алгебраическое, через $1/3$, через сумму ряда.
- Сумма прогрессии $\frac{9/10}{1-1/10} = 1$.
- Между двумя числами не вставить третье — значит, они равны.