Множество Мандельброта

Одна формула — $z_{n+1} = z_n^2 + c$ — и из неё рождается, возможно, самая сложная фигура в математике.

Множество Мандельброта — набор таких комплексных чисел $c$, для которых последовательность $z_0 = 0,\; z_{n+1} = z_n^2 + c$ остаётся ограниченной.

В 1980 году Бенуа Мандельброт построил на компьютере картинку, которая поразила мир: чёрная «фигурка жука» с бесконечно изрезанной, ветвящейся границей. Поразительно, что эта неисчерпаемая сложность спрятана в одной из простейших формул, какие только можно записать.

Правило итерации

Берём комплексное число $c$ и запускаем процесс:

$$z_0 = 0, \qquad z_{n+1} = z_n^2 + c.$$

Если значения $z_n$ остаются ограниченными (не убегают в бесконечность), то $c$ принадлежит множеству. Если же $|z_n|$ начинает неудержимо расти, то $c$ — снаружи. Можно доказать: как только $|z_n| \gt 2$, последовательность гарантированно убегает. Это даёт простой численный критерий: итерируем, и если за разумное число шагов модуль превысил 2 — точка снаружи; если нет — считаем её внутри.

Печатаем карту в ASCII

Комплексное число $c = a + bi$ — это просто пара $(a, b)$. Перебрав сетку точек, нарисуем множество символами:

def escape_iters(cx, cy, max_iter=50):
    zx = zy = 0.0
    for i in range(max_iter):
        zx, zy = zx * zx - zy * zy + cx, 2 * zx * zy + cy
        if zx * zx + zy * zy > 4.0:   # |z| > 2
            return i
    return max_iter

W, H = 60, 24
for row in range(H):
    line = ""
    for col in range(W):
        cx = -2.3 + 3.2 * col / (W - 1)
        cy = -1.2 + 2.4 * row / (H - 1)
        it = escape_iters(cx, cy)
        line += "#" if it == 50 else ("." if it > 5 else " ")
    if line.strip():
        print(line.rstrip())

Вывод:

                                       .
                                       ....
                                     .......
                                    ...####..
                               ........###...#....
                              ...#.###########.###.
                             ...################...
                   ............##################...
                  ...#..#....#####################..
                ....########.#####################.
          .. .....#.#############################.
          .. .....#.#############################.
                ....########.#####################.
                  ...#..#....#####################..
                   ............##################...
                             ...################...
                              ...#.###########.###.
                               ........###...#....
                                    ...####..
                                     .......
                                       ....
                                       .

Как работает под капотом

Символ # — это точки, не убежавшие за 50 шагов (предположительно внутри множества), а . — «пограничная зона», убежавшая, но не сразу. Обратите внимание на симметрию относительно горизонтальной оси: она следует из того, что сопряжённое число $\bar c$ ведёт себя зеркально. Раскрытие комплексного умножения $z^2 = (x+yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xy\, i$ объясняет две строки в коде: новая действительная часть — $x^2 - y^2 + a$, новая мнимая — $2xy + b$. Чем мельче сетка и больше итераций, тем тоньше прорисовывается «волосатая» граница — и она бесконечно сложна.

Частые ошибки

Самая частая — сравнивать $|z|$ с 2 через корень: дороже и не нужно, достаточно сравнить $x^2+y^2$ с 4. Вторая — стартовать с $z_0 = c$ вместо $z_0 = 0$ (получится похожая, но другая картинка). Третья — путать множество Мандельброта (перебираем $c$, всегда $z_0=0$) с множествами Жюлиа (фиксируем $c$, перебираем стартовое $z_0$).

Итог

Множество Мандельброта: $c$ такие, что $z_{n+1}=z_n^2+c$ ограничена при $z_0=0$.
Критерий убегания: как только $|z| \gt 2$, точка снаружи.
Комплексный квадрат: $(x+yi)^2 = (x^2-y^2) + 2xy\,i$.
Граница бесконечно сложна, фигура симметрична относительно оси абсцисс.