Формула Эйлера для многогранников

У куба, пирамиды и футбольного мяча есть общее число — и оно всегда равно двум.

Формула Эйлера для многогранников — соотношение $V - E + F = 2$, где $V$ — число вершин, $E$ — рёбер, $F$ — граней.

Возьмите любой выпуклый многогранник — куб, тетраэдр, додекаэдр. Посчитайте его вершины, рёбра и грани, подставьте в $V - E + F$ — всегда получится 2. Это одно из самых неожиданных и универсальных соотношений геометрии.

Проверка на телах Платона

Формула звучит так:

$$V - E + F = 2.$$

Для куба: 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней, и $8 - 12 + 6 = 2$. Для тетраэдра: 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани, снова $4 - 6 + 4 = 2$. Проверим все пять правильных многогранников (тел Платона):

platonic = [
    ("Тетраэдр",     4,  6,  4),
    ("Куб",          8, 12,  6),
    ("Октаэдр",      6, 12,  8),
    ("Додекаэдр",   20, 30, 12),
    ("Икосаэдр",    12, 30, 20),
]
for name, V, E, F in platonic:
    print(f"{name:<12}: V={V:>2}, E={E:>2}, F={F:>2}, V-E+F={V - E + F}")

Вывод:

Тетраэдр    : V= 4, E= 6, F= 4, V-E+F=2
Куб         : V= 8, E=12, F= 6, V-E+F=2
Октаэдр     : V= 6, E=12, F= 8, V-E+F=2
Додекаэдр   : V=20, E=30, F=12, V-E+F=2
Икосаэдр    : V=12, E=30, F=20, V-E+F=2

Как работает под капотом

Почему именно 2? Представим, что многогранник сделан из резины и мы «расплющиваем» его на плоскость, растянув одну грань в большую рамку. Получится плоский граф, и теперь будем его упрощать. Удаление ребра, разделяющего две грани, уменьшает $E$ и $F$ на 1 каждое — величина $V - E + F$ не меняется. Стягивание висячего ребра убирает по вершине и ребру — снова инвариант сохраняется. В конце остаётся один треугольник: $V=3, E=3, F=2$ (внутренняя и внешняя), и $3 - 3 + 2 = 2$. Поскольку каждое преобразование сохраняло $V - E + F$, исходное значение тоже было 2. Это число называют эйлеровой характеристикой, и для тел с «дырками» (как у бублика) оно меняется.

Частые ошибки

Формула верна для выпуклых (точнее, топологически сферических) многогранников. Для тора (бублика) $V - E + F = 0$, а не 2 — там другая топология. Не забывайте при «расплющивании» считать внешнюю область отдельной гранью. И не путайте $V - E + F$ с $V + E + F$: знак минус перед рёбрами критичен.

Итог

$V - E + F = 2$ для любого выпуклого многогранника.
Проверено на всех пяти телах Платона.
Доказывается «расплющиванием» в плоский граф и упрощением.
Для тел с дырками значение другое (эйлерова характеристика).