Число e и его ряд

Число $e$ управляет всем, что растёт непрерывно: от банковских процентов до радиоактивного распада.

Число $e$ — иррациональная константа $\approx 2{,}71828$, основание натурального логарифма и предел непрерывного роста.

Если $\pi$ — король геометрии, то $e$ — король анализа и роста. Оно появляется всюду, где что-то меняется со скоростью, пропорциональной текущему количеству: проценты, размножение, остывание. Открыл его Якоб Бернулли, размышляя о сложных процентах.

Два лица числа e

Первое определение — через предел сложных процентов. Если класть деньги под 100% годовых, но начислять проценты всё чаще ($n$ раз в год), итог стремится к

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$$

Второе — через ряд обратных факториалов, который сходится поразительно быстро:

$$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \ldots$$

Считаем e двумя способами

from math import factorial

# Способ 1: ряд обратных факториалов
for n in [5, 10, 15]:
    s = sum(1 / factorial(k) for k in range(n))
    print(f"ряд, {n:>2} членов: e ≈ {s:.9f}")

# Способ 2: предел (1 + 1/n)^n
for n in [10, 1000, 1000000]:
    val = (1 + 1 / n) ** n
    print(f"предел, n={n:>7}: e ≈ {val:.6f}")

Вывод:

ряд,  5 членов: e ≈ 2.708333333
ряд, 10 членов: e ≈ 2.718281526
ряд, 15 членов: e ≈ 2.718281828
предел, n=     10: e ≈ 2.593742
предел, n=   1000: e ≈ 2.716924
предел, n=1000000: e ≈ 2.718280

Как работает под капотом

Сравните скорость: ряд из 15 членов уже даёт девять верных знаков, тогда как предел даже при миллионе шагов не дотягивает до шести. Причина — факториал в знаменателе растёт чудовищно быстро, поэтому слагаемые ряда тают почти мгновенно. Именно поэтому $e$ так удобно считать рядом. А предел $(1 + 1/n)^n$ важен концептуально: он показывает, что $e$ — это «непрерывный рост», к которому стремится дискретное начисление процентов, когда промежутки становятся бесконечно малыми. Уникальное свойство $e$: функция $e^x$ равна своей собственной производной.

Частые ошибки

Не путайте $e \approx 2{,}718$ с $\pi \approx 3{,}142$ — это разные константы. Не ждите быстрой сходимости от предела $(1+1/n)^n$: он точен лишь в пределе и медленно приближается. И помните: $0! = 1$, поэтому первые два слагаемых ряда оба равны 1.

Итог

$e \approx 2{,}71828$ — основание натурального логарифма.
$e = \lim (1 + 1/n)^n$ — предел непрерывного роста.
$e = \sum 1/k!$ — быстро сходящийся ряд.
Ряд сходится намного быстрее предела благодаря факториалу.