Формула Эйлера: самое красивое тождество

Пять важнейших чисел математики встречаются в одном коротком равенстве.

Тождество Эйлера — равенство $e^{i\pi} + 1 = 0$, связывающее константы $e$, $i$, $\pi$, единицу и ноль.

Это уравнение часто называют самым красивым в математике. В нём, словно в одной строке стихотворения, встречаются: $e$ (анализ), $i$ (комплексные числа), $\pi$ (геометрия), $1$ (арифметика) и $0$ (понятие нуля). Откуда такая невероятная связь?

Общая формула Эйлера

Тождество — частный случай более общей формулы Эйлера:

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

Она утверждает, что возведение $e$ в мнимую степень — это поворот на угол $\theta$ по единичной окружности на комплексной плоскости. Подставим $\theta = \pi$ (поворот на полокружности, $180^\circ$): $\cos\pi = -1$, $\sin\pi = 0$, поэтому $e^{i\pi} = -1 + 0 \cdot i = -1$. Перенеся единицу, получаем знаменитое $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Проверяем формулу численно

Комплексное число $a + bi$ представим парой $(a, b)$ и проверим формулу Эйлера для нескольких углов:

from math import cos, sin, pi, exp

# e^(i*theta) считаем как (cos theta, sin theta)
for label, theta in [("0", 0), ("pi/2", pi / 2), ("pi", pi), ("3pi/2", 3 * pi / 2)]:
    re = cos(theta)
    im = sin(theta)
    print(f"e^(i*{label:>5}) = ({re:+.4f}) + ({im:+.4f})i")

# Главное тождество
re_pi = cos(pi)
im_pi = sin(pi)
print("e^(i*pi) + 1 =", round(re_pi + 1, 10), "+", round(im_pi, 10), "i")

Вывод:

e^(i*    0) = (+1.0000) + (+0.0000)i
e^(i* pi/2) = (+0.0000) + (+1.0000)i
e^(i*   pi) = (-1.0000) + (+0.0000)i
e^(i*3pi/2) = (-0.0000) + (-1.0000)i
e^(i*pi) + 1 = 0.0 + 0.0 i

Как работает под капотом

Почему мнимая степень даёт поворот? Если разложить $e^{i\theta}$, $\cos\theta$ и $\sin\theta$ в ряды Тейлора, ряд экспоненты в точности распадается на ряд косинуса (действительная часть) и ряд синуса (мнимая часть). Множитель $i$ при возведении в степени циклически проходит значения $i, -1, -i, 1, i, \dots$ — ровно так, как точка обходит окружность. Поэтому $e^{i\theta}$ всегда лежит на единичной окружности под углом $\theta$. При $\theta = \pi$ точка оказывается ровно напротив единицы — в $-1$. Маленькая невязка в выводе (вроде $-0.0000$) — артефакт того, что $\pi$ хранится с конечной точностью.

Частые ошибки

Угол $\theta$ в формуле — в радианах, не в градусах: $\pi$ радиан это $180^\circ$. Не путайте мнимую единицу $i$ (где $i^2 = -1$) с обычной переменной. И помните, что $e^{i\pi} = -1$, а вовсе не $+1$: знаменитое тождество получается именно прибавлением единицы к минус единице.

Итог

• Формула Эйлера: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ — поворот на окружности.
• При $\theta = \pi$: $e^{i\pi} = -1$, откуда $e^{i\pi} + 1 = 0$.
• Тождество объединяет $e, i, \pi, 1, 0$.
• Доказывается через ряды Тейлора экспоненты, синуса и косинуса.