Число пи: ряд Лейбница

Складывая дроби с чередующимся знаком, можно добраться до числа $\pi$ — медленно, но верно.

Ряд Лейбница — представление числа $\pi$ в виде бесконечной знакочередующейся суммы нечётных дробей.

Число $\pi$ — отношение длины окружности к диаметру — известно тысячи лет, но как вычислить его много знаков? Древние мерили многоугольниками. В XVII веке открылись ряды — бесконечные суммы, сходящиеся к $\pi$. Самый элегантный из них носит имя Лейбница.

Формула ряда

Ряд выглядит обманчиво просто:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \ldots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k + 1}.$$

Берём дроби с нечётными знаменателями и складываем их, чередуя знак. Сумма стремится к $\pi/4$, а значит, умножив на 4, получим само $\pi$. Откуда такая красота? Это значение ряда Тейлора для арктангенса при аргументе 1: $\arctan 1 = \pi/4$.

Считаем пи рядом

def leibniz_pi(terms):
    total = 0.0
    for k in range(terms):
        total += (-1) ** k / (2 * k + 1)
    return 4 * total

for n in [10, 100, 1000, 10000]:
    print(f"{n:>6} слагаемых: pi ≈ {leibniz_pi(n):.6f}")
print("Истинное pi:           3.141593")

Вывод:

    10 слагаемых: pi ≈ 3.041840
   100 слагаемых: pi ≈ 3.131593
  1000 слагаемых: pi ≈ 3.140593
 10000 слагаемых: pi ≈ 3.141493
Истинное pi:           3.141593

Как работает под капотом

Множитель $(-1)^k$ переключает знак: при чётном $k$ он равен $+1$, при нечётном $-1$. Знаменатель $2k+1$ пробегает нечётные числа $1, 3, 5, 7, \dots$ Ряд сходится, но мучительно медленно: чтобы получить $n$ верных знаков, нужно порядка $10^n$ слагаемых. После 10000 членов мы знаем лишь три знака после запятой. Причина в том, что слагаемые убывают как $1/(2k+1)$ — очень неспешно. Для практических вычислений $\pi$ используют куда более быстрые ряды, но Лейбниц красив своей простотой и прямой связью с геометрией арктангенса.

Частые ошибки

Не забудьте умножить сумму на 4 — ряд даёт $\pi/4$, а не $\pi$. Не ждите быстрой сходимости: это «учебный», а не «рабочий» ряд. И следите за знаком: первое слагаемое (при $k=0$) положительно, ведь $(-1)^0 = 1$.

Итог

$\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \ldots$
Это ряд Тейлора для $\arctan 1$.
Сходимость очень медленная: 10000 членов дают лишь 3 знака.
Не забывайте множитель 4 и чередование знака.