Золотое сечение: число фи

Одно деление отрезка в особой пропорции порождает число, которое встречается всюду — от ракушек до полотен Леонардо.

Золотое сечение — деление отрезка на две части так, что весь отрезок относится к большей части, как большая к меньшей.

Возьмём отрезок и разрежем его на части $a$ (большую) и $b$ (меньшую). Деление золотое, если

$$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}.$$

Это равенство выглядит безобидно, но из него рождается удивительное число. Обозначим отношение $\varphi = a/b$. Тогда левая часть равна $1 + b/a = 1 + 1/\varphi$, и уравнение превращается в $\varphi = 1 + 1/\varphi$, то есть

$$\varphi^2 = \varphi + 1.$$

Решаем уравнение золотого сечения

Перепишем как $\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$ и применим формулу корней квадратного уравнения:

$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887.$$

Второй корень $\psi = \dfrac{1 - \sqrt 5}{2} \approx -0{,}618$ отрицателен — он нам ещё пригодится в следующих уроках. Само $\varphi$ обладает почти магическими свойствами: $\varphi^2 = \varphi + 1$ означает, что квадрат числа получается простым прибавлением единицы, а $1/\varphi = \varphi - 1$ — что обратное число отличается от исходного ровно на единицу. Ни у какого другого числа таких совпадений нет.

Проверим свойства в коде

from math import sqrt

phi = (1 + sqrt(5)) / 2
print("phi      =", round(phi, 8))
print("phi^2    =", round(phi**2, 8))
print("phi + 1  =", round(phi + 1, 8))
print("1/phi    =", round(1 / phi, 8))
print("phi - 1  =", round(phi - 1, 8))

Вывод:

phi      = 1.61803399
phi^2    = 2.61803399
phi + 1  = 2.61803399
1/phi    = 0.61803399
phi - 1  = 0.61803399

Как работает под капотом

Совпадение $\varphi^2 = \varphi + 1$ не случайно, а прямо следует из определяющего уравнения. Из него же получается красивая «непрерывная дробь»: подставляя $\varphi = 1 + 1/\varphi$ саму в себя бесконечно, имеем $\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}$. Все коэффициенты — единицы, что в некотором смысле делает $\varphi$ «самым иррациональным» числом: его хуже всего приближать дробями. Именно поэтому растения раскладывают листья под золотым углом — так они меньше всего затеняют друг друга.

Частые ошибки

Не путайте $\varphi$ с числом $\pi$ — это разные константы. Не считайте золотое сечение «точно 1,618»: это иррациональное число с бесконечной непериодической дробью, 1,618 — лишь округление. И помните, что свойство $1/\varphi = \varphi - 1$ верно только для золотого сечения, а не для любой пропорции.

Итог

• Золотое сечение задаётся пропорцией $(a+b)/a = a/b$.
• Оно приводит к уравнению $\varphi^2 = \varphi + 1$.
• $\varphi = \dfrac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618$ — иррациональное число.
• $\varphi^2 = \varphi + 1$ и $1/\varphi = \varphi - 1$ — фирменные тождества.