Простые-близнецы

Иногда простые ходят парами на расстоянии 2 — и сколько таких пар, не знает никто.

Простые-близнецы — пара простых чисел, разность которых равна 2, например $(11, 13)$ или $(17, 19)$.

Мы выяснили, что с ростом чисел простые редеют. Тем удивительнее, что иногда они оказываются вплотную друг к другу — настолько близко, насколько вообще возможно для двух нечётных простых. Пары вида $(p, p+2)$ называют близнецами. Это один из самых притягательных открытых вопросов математики.

Гипотеза о близнецах

Первые пары: $(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31)$. Гипотеза о простых-близнецах утверждает, что таких пар бесконечно много. Несмотря на простую формулировку, она не доказана до сих пор. В 2013 году Чжан Итан совершил прорыв, доказав, что существует бесконечно много пар простых, отличающихся не более чем на некоторую константу; усилиями математиков границу довели до 246. Но именно «расстояние 2» пока не покорилось.

Есть и количественная гипотеза Харди — Литлвуда: число пар-близнецов до $n$ ведёт себя как

$$\pi_2(n) \sim 2 C_2 \int_2^n \frac{dt}{(\ln t)^2}, \qquad C_2 \approx 0{,}6601,$$

где $C_2$ — постоянная простых-близнецов.

Ищем близнецов

def sieve(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    p = 2
    while p * p <= n:
        if is_prime[p]:
            for m in range(p * p, n + 1, p):
                is_prime[m] = False
        p += 1
    return is_prime

N = 100
is_prime = sieve(N)
twins = [(p, p + 2) for p in range(2, N - 1) if is_prime[p] and is_prime[p + 2]]
print("Близнецы до 100:", twins)
print("Сколько пар:", len(twins))

Вывод:

Близнецы до 100: [(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)]
Сколько пар: 8

Как работает под капотом

Заметьте: среди троек подряд идущих нечётных $p, p+2, p+4$ одно всегда делится на 3. Поэтому «тройняшек»-простых (кроме единственной тройки $3,5,7$) не бывает — близнецы это максимум. Формула Харди — Литлвуда говорит, что близнецов до $n$ примерно $n/(\ln n)^2$ с поправочным множителем: их плотность падает быстрее, чем у одиночных простых, но всё ещё «достаточно медленно», чтобы их, по-видимому, было бесконечно много.

Частые ошибки

Не путайте близнецов с «соседними простыми»: $23$ и $29$ — соседние простые, но не близнецы (разность 6). Не считайте пару $(2,3)$ близнецами — их разность 1, а близнецы определены через разность 2. И помните: бесконечность близнецов — гипотеза, а не теорема.

Итог

Близнецы — простые на расстоянии 2.
Бесконечность близнецов — знаменитая недоказанная гипотеза.
Тройных простых-близнецов нет (кроме $3,5,7$): одно из трёх делится на 3.
Плотность близнецов падает как $1/(\ln n)^2$.