Учебник Вычислительная физика для начинающих

Программа курса

1. 1 Третий столп науки

   1. Что такое вычислительная физика

      Вычислительная физика как третий столп науки: зачем моделировать то, что нельзя решить формулой или поставить опытом, и чем численное решение отличается от аналитического.

   2. Рабочий процесс симуляции

      Пять шагов любой физической симуляции: физический закон, уравнение движения, дискретизация, прогон и обязательная проверка по законам сохранения и предельным случаям.

   3. Дискретизация и численные ошибки

      Как непрерывные производные превращаются в конечные разности, откуда берутся ошибки усечения и округления, что такое порядок метода и устойчивость, и почему мелкий шаг не всегда лучше.

2. 2 Кинематика и динамика

   1. Законы Ньютона как уравнения движения

      Как второй закон Ньютона превращается в систему дифференциальных уравнений для координаты и скорости, что такое состояние и фазовое пространство, и почему простой шаг копит ошибку.

   2. Свободное падение и баллистика

      Двумерный бросок без сопротивления как две независимые одномерные задачи: разложение по осям, численная траектория и сверка дальности и времени полёта с формулами.

   3. Полёт с сопротивлением воздуха

      Квадратичное сопротивление воздуха делает уравнение движения нелинейным и нерешаемым формулой: численный бросок, несимметричная траектория и предельная скорость.

3. 3 Численные интеграторы для физики

   1. Метод Эйлера и потеря энергии

      Простейший интегратор Эйлера и его фатальный недостаток: он систематически добавляет энергию, превращая колебания в раскручивающуюся спираль, и уменьшение шага это не лечит.

   2. Полунеявный (симплектический) Эйлер

      Перестановка двух строк превращает Эйлер в симплектический метод: он не накачивает энергию, а удерживает её ограниченной — почему порядок обновлений решает судьбу долгой симуляции.

   3. Метод Верле и скоростной Верле

      Метод Верле — симплектический интегратор второго порядка: учёт кривизны через ½·a·dt² и усреднение ускорений даёт почти идеальное сохранение энергии там, где Эйлер раздувает её в сотни раз.

   4. Выбор интегратора: Верле, RK4, leapfrog

      Как выбрать численный интегратор: симплектичность против высокого порядка, цена шага и почему для долгих орбит скромный Верле побеждает точный RK4.

4. 4 Колебания

   1. Гармонический осциллятор

      Пружина как простейшая колебательная система: линейная возвращающая сила, синусоида с периодом, не зависящим от амплитуды, сохранение энергии и эллиптический фазовый портрет.

   2. Маятник: малые и большие углы

      Нелинейное уравнение маятника: приближение малых углов и его границы, рост периода с амплитудой (анизохронность) и почему большой маятник качается медленнее школьной формулы.

   3. Затухание, вынужденные колебания и резонанс

      Трение гасит колебания по экспоненте, а вынуждающая сила на собственной частоте раскачивает систему: численная резонансная кривая, добротность и резонансные катастрофы.

   4. Двойной маятник и хаос

      Двойной маятник как образец детерминированного хаоса: чувствительность к начальным условиям, эффект бабочки, показатель Ляпунова и горизонт предсказуемости.

5. 5 Гравитация и орбиты

   1. Задача двух тел и орбита планеты

      Закон тяготения превращаем в орбиту планеты: векторное ускорение, удобные астрономические единицы, замкнутая орбита через Верле и связь знака энергии с типом траектории.

   2. Законы Кеплера численно

      Три закона Кеплера, рождённые из симуляции тяготения: численная проверка T²/a³=const, связь второго закона с моментом импульса и воспроизведение реальных периодов планет.

   3. Задача N тел: прямое суммирование

      Несколько тел под взаимным притяжением: почему три тела уже хаотичны, прямое суммирование O(N²), сохранение импульса (точно) и энергии (приближённо) как тесты симуляции.

6. 6 Столкновения и молекулярная динамика

   1. Упругие и неупругие столкновения

      Сохранение импульса и энергии при ударе: формулы упругого столкновения, потеря энергии при неупругом, коэффициент восстановления и связь с теплом и теоремой Нётер.

   2. Бильярд: двумерные столкновения

      Столкновение шаров в плоскости: разрешение удара вдоль линии центров, сохранение тангенциальной скорости, проблема проникновения и проверка законами сохранения.

   3. Молекулярная динамика: газ и давление

      Газ как множество частиц по Ньютону: давление как поток ударов молекул о стенки, температура как средняя кинетическая энергия и вывод законов термодинамики из механики.

7. 7 Метод Монте-Карло в физике

   1. Метод Монте-Карло

      Вычисления через случайность: оценка π бросками точек, закон сходимости 1/√N, независимость от размерности и центральная предельная теорема под капотом.

   2. Радиоактивный распад и диффузия

      Случайные элементарные события и гладкие законы: распад атом за атомом даёт экспоненту, случайное блуждание даёт закон диффузии ⟨x²⟩=D·t, а смещение растёт как √t.

   3. Модель Изинга и фазовый переход

      Жемчужина курса: решётка спинов и алгоритм Метрополиса воспроизводят магнетизм и фазовый переход при Tc≈2.27 — как из локальных правил рождается коллективный порядок.

8. 8 Термодинамика, волны и поля

   1. Распределение Максвелла-Больцмана

      Универсальное распределение скоростей газа, рождающееся из хаоса столкновений: симуляция равновесия из одинаковых скоростей, характерные скорости √(T/m) и связь с максимумом энтропии.

   2. Энтропия, равновесие и стрела времени

      Почему время необратимо при обратимых уравнениях: симуляция расширения газа, формула Больцмана S=k·ln W и статистическая природа второго начала термодинамики.

   3. Волны на струне: конечные разности

      Волновое уравнение на сетке методом конечных разностей: щипок расщепляется на две бегущие волны, отражения дают стоячую волну, а устойчивость требует условия Куранта CFL.

   4. Теплопроводность и уравнение Лапласа

      Диффузия тепла по стержню и равновесный потенциал: метод конечных разностей для теплопроводности, переход к уравнению Лапласа и метод релаксации Якоби для электростатики.

9. 9 Электромагнетизм, кванты и практика

   1. Электромагнетизм: поле зарядов и сила Лоренца

      Вычислительный электромагнетизм: карта поля диполя по закону Кулона и движение заряда в магнитном поле методом Бориса, точно сохраняющим скорость — основа физики плазмы.

   2. Кванты численно: частица в яме

      Уравнение Шрёдингера на сетке как задача о собственных значениях: дискретные уровни энергии частицы в яме E_n=n²π²/2, их совпадение с точными и смысл квантования.

   3. Погрешности и валидация симуляций

      Как доверять симуляции: три кита проверки — законы сохранения, предельные случаи и сходимость по шагу, демонстрация падения ошибки как h² и различие верификации и валидации.

   4. Производительность и реальные применения

      Почему N тел тяжелы: сложность O(N²), ускорение Барнсом-Хатом до O(N log N), параллельность и GPU, и где вычислительная физика меняет науку и индустрию.