Маятник: малые и большие углы

Когда приближение малых углов ломается: период маятника растёт с амплитудой.

Математический маятник — груз на невесомой нити; его уравнение θ'' = -(g/L)·sin θ нелинейно, и точная формула периода для больших амплитуд отсутствует.

Линейное приближение и его границы

Уравнение маятника содержит sin θ, и это делает его нелинейным. Школьная физика спасается приближением: при малых углах sin θ ≈ θ, и маятник становится обычным гармоническим осциллятором с периодом T = 2π√(L/g), не зависящим от амплитуды. Но это приближение, верное лишь для малых качаний. Для больших амплитуд формула врёт, а точного выражения через элементарные функции не существует — здесь нужна симуляция.

Симуляция: период растёт с амплитудой

Решим полное нелинейное уравнение и измерим период при разных начальных углах. Маятник стартует из крайней точки (скорость 0); период — время возврата в ту же точку:

import math
g, L = 9.8, 1.0
def period_sim(theta0):
    theta, omega = theta0, 0.0
    dt = 0.0002
    t = 0.0
    while True:
        alpha = -(g/L)*math.sin(theta)
        omega += alpha*dt
        theta += omega*dt
        t += dt
        if t > 0.1 and theta >= theta0 and omega >= 0:
            return t
T_small = 2*math.pi*math.sqrt(L/g)
print(f"Формула малых углов: T = 2π√(L/g) = {T_small:.4f} c")
for deg in (10, 45, 90, 170):
    Tn = period_sim(math.radians(deg))
    print(f"амплитуда {deg:3d}°: T_числ = {Tn:.4f} c  (T/T_малых = {Tn/T_small:.3f})")

Вывод:

Формула малых углов: T = 2π√(L/g) = 2.0071 c
амплитуда  10°: T_числ = 2.0108 c  (T/T_малых = 1.002)
амплитуда  45°: T_числ = 2.0872 c  (T/T_малых = 1.040)
амплитуда  90°: T_числ = 2.3690 c  (T/T_малых = 1.180)
амплитуда 170°: T_числ = 4.8960 c  (T/T_малых = 2.439)

Картина ясна. При 10° численный период (2.011 c) почти точно совпадает с формулой малых углов (2.007 c) — приближение работает. Но с ростом амплитуды период растёт: при 90° он на 18% больше, а при 170° — почти в 2.5 раза. Большой маятник качается заметно медленнее, чем предсказывает школьная формула. Это анизохронность — следствие нелинейности.

Физический маятник

Реальный маятник — не точка на нити, а протяжённое тело (стержень, диск). У него вместо длины L в формулу входит приведённая длина через момент инерции I: период T = 2π√(I/(mgd)), где d — расстояние от оси до центра масс. Качественно поведение то же: малые колебания изохронны, большие — замедляются. Симуляция меняется лишь заменой коэффициента при sin θ.

Как работает под капотом

Почему период растёт с амплитудой? У больших углов sin θ меньше самого θ, значит возвращающая сила слабее, чем у линейной пружины. Слабее сила — медленнее возврат — дольше период. Вблизи 180° (маятник почти на вершине) сила возврата стремится к нулю, и период неограниченно растёт: маятник может «зависнуть» в верхней точке сколь угодно долго. Точная формула периода выражается через эллиптический интеграл — функцию, которую саму считают численно.

Частые ошибки

• Применять формулу 2π√(L/g) к большим качаниям. При 90° она ошибается на 18%, при 170° — в разы.
• Заменять sin θ на θ в симуляции. Тогда вы моделируете пружину, а не маятник, и теряете всю нелинейную физику.
• Слишком крупный шаг у большой амплитуды. Быстрый проход через нижнюю точку требует мелкого dt.

Итоги

• Уравнение маятника нелинейно из-за sin θ; точной формулы периода нет.
• При малых углах работает приближение 2π√(L/g), при больших — нет.
• Период растёт с амплитудой (анизохронность): при 170° — в 2.5 раза.
• Физический маятник отличается лишь моментом инерции в коэффициенте.