Затухание, вынужденные колебания и резонанс

Трение гасит колебания, а вынуждающая сила на собственной частоте их раскачивает.

Резонанс — резкий рост амплитуды колебаний, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы.

Затухание: трение съедает энергию

Реальные колебания не вечны — трение и сопротивление воздуха отбирают энергию. Это моделируют силой, пропорциональной скорости: F_трение = -2γ·v. Уравнение становится x'' = -2γ·x' - ω₀²·x. Амплитуда убывает по экспоненте e^(-γt):

import math
w0, gamma = 2.0, 0.2
x, v, dt = 1.0, 0.0, 0.01
print("Затухающие колебания (огибающая e^(-γt)):")
print(" t     x        e^(-γt)")
t = 0.0
for step in range(0, 1501):
    if step % 250 == 0:
        print(f"{t:4.1f}  {x:+.3f}     {math.exp(-gamma*t):.3f}")
    a = -2*gamma*v - w0*w0*x
    v += a*dt; x += v*dt; t += dt

Вывод:

Затухающие колебания (огибающая e^(-γt)):
 t     x        e^(-γt)
 0.0  +1.000     1.000
 2.5  +0.107     0.607
 5.0  -0.333     0.368
 7.5  -0.146     0.223
10.0  +0.075     0.135
12.5  +0.078     0.082
15.0  -0.003     0.050

Колебания плавно гаснут: размах сжимается под экспоненциальную огибающую. Выбранные моменты времени не попадают точно на пики, поэтому x не равно огибающей — но все значения лежат внутри коридора ±e^(-γt). При сильном затухании (большое γ) колебаний вовсе нет — система просто сползает к равновесию (апериодический режим).

Вынужденные колебания и резонанс

Теперь добавим внешнюю периодическую силу F·cos(ωt). Система раскачивается на частоте этой силы, а её установившаяся амплитуда сильно зависит от того, насколько частота ω близка к собственной ω₀. Построим резонансную кривую:

import math
w0, gamma, F = 1.0, 0.05, 1.0
def amplitude(w):
    x, v, dt, t = 0.0, 0.0, 0.01, 0.0
    maxx = 0.0
    steps = int(400/dt)
    for step in range(steps):
        a = -2*gamma*v - w0*w0*x + F*math.cos(w*t)
        v += a*dt; x += v*dt; t += dt
        if step > steps*0.7:
            maxx = max(maxx, abs(x))
    return maxx
print("Резонансная кривая (амплитуда отклика vs частота):")
print("частота ω   амплитуда")
for w in (0.5, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2, 1.5):
    A = amplitude(w)
    print(f"  {w:.1f}       {A:6.2f}  {'#'*int(A)}")
print("Пик у ω≈ω0=1.0 — резонанс.")

Вывод:

Резонансная кривая (амплитуда отклика vs частота):
частота ω   амплитуда
  0.5         1.33  #
  0.8         2.71  ##
  0.9         4.75  ####
  1.0        10.00  ##########
  1.1         4.23  ####
  1.2         2.20  ##
  1.5         0.80  
Пик у ω≈ω0=1.0 — резонанс.

На собственной частоте (ω=1.0) амплитуда взлетает до 10 — в разы выше, чем при других частотах. Это резонанс: подталкивая систему в такт её собственным колебаниям, даже слабая сила раскачивает её очень сильно. Так ребёнок на качелях набирает высоту, толкаясь в нужный момент.

Как работает под капотом

Острота резонансного пика определяется затуханием γ: чем меньше трение, тем выше и уже пик (добротность Q). При нулевом трении амплитуда на резонансе формально уходит в бесконечность — система накапливает энергию без потерь. Отсюда и инженерная опасность: мост, здание или деталь машины могут разрушиться, если внешняя вибрация попадёт в их собственную частоту. Знаменитый обвал моста Такома-Нарроуз — наглядная (хоть и более сложная) иллюстрация резонансной катастрофы.

Частые ошибки

Мерить амплитуду до установления режима. В начале есть переходный процесс; устойчивую амплитуду берут в конце прогона.
Ждать бесконечной амплитуды на резонансе. При любом ненулевом трении пик конечен; высоту ограничивает γ.
Путать собственную частоту с частотой вынуждающей силы. Резонанс — это их совпадение, а не одно и то же.

Итоги

Трение даёт силу -2γv; амплитуда гаснет по экспоненте e^(-γt).
Внешняя сила раскачивает систему на своей частоте.
Резонанс — пик амплитуды при совпадении частоты силы с собственной.
Острота пика обратна затуханию; малое трение опасно резонансной катастрофой.