Гармонический осциллятор

Пружина как простейшая колебательная система и эталон для проверки интеграторов.

Гармонический осциллятор — система с возвращающей силой, пропорциональной отклонению (F=-kx); её движение — синусоида с частотой ω=√(k/m).

Почему осциллятор повсюду

Гармонический осциллятор — самая важная модель в физике. Любая система вблизи устойчивого равновесия ведёт себя как пружина: маятник при малых углах, атом в кристалле, заряд в колебательном контуре, молекула, звуковая волна. Понять осциллятор — значит понять колебания вообще. Поэтому с него начинается изучение любой динамики.

Возвращающая сила пружины: F = -k·x. Знак минус означает, что сила всегда тянет к равновесию. Подставив в закон Ньютона, получаем a = -(k/m)·x. Точное решение — x(t) = A·cos(ωt + φ) с частотой ω=√(k/m) и периодом T=2π/ω, не зависящим от амплитуды.

Симуляция и проверка периода

Прогоним пружину скоростным Верле, проследим координату и убедимся, что период совпадает с формулой. Возьмём k=1, m=1, тогда ω=1 и T=2π≈6.283 c:

import math
k, m = 1.0, 1.0
x, v, dt = 1.0, 0.0, 0.05
w = math.sqrt(k/m)
T = 2*math.pi/w
print(f"ω = {w:.3f}, период T = 2π/ω = {T:.3f} c")
print(" t      x        cos(ωt)")
t = 0.0
a = -k*x/m
for step in range(0, 158):
    if step % 25 == 0:
        print(f"{t:5.2f}  {x:+.4f}   {math.cos(w*t):+.4f}")
    x += v*dt + 0.5*a*dt*dt
    a2 = -k*x/m
    v += 0.5*(a+a2)*dt
    a = a2
    t += dt

Вывод:

ω = 1.000, период T = 2π/ω = 6.283 c
 t      x        cos(ωt)
 0.00  +1.0000   +1.0000
 1.25  +0.3152   +0.3153
 2.50  -0.8013   -0.8011
 3.75  -0.8203   -0.8206
 5.00  +0.2842   +0.2837
 6.25  +0.9995   +0.9994
 7.50  +0.3459   +0.3466

Численная координата почти идеально совпадает с точным cos(ωt). К t≈6.28 (=T) тело вернулось к +1 — один полный период. Верле воспроизвёл синусоиду без видимого затухания или раскрутки.

Энергия и фазовый портрет

Энергия осциллятора постоянно перетекает между кинетической (½mv²) и потенциальной (½kx²), а их сумма постоянна. На фазовом портрете (x, v) это идеальный эллипс: когда координата максимальна, скорость нулевая (крайняя точка), когда координата нулевая — скорость максимальна (проход через равновесие). Эллипс не раскручивается и не сжимается — энергия сохраняется.

Как работает под капотом

Изохронность (независимость периода от амплитуды) — особое свойство линейной возвращающей силы. Именно из-за неё работают маятниковые часы и камертоны: как бы сильно ни качнуть, период один. Но это идеализация. Стоит силе перестать быть строго пропорциональной отклонению — и период начинает зависеть от амплитуды. Этот переход мы увидим уже на следующем уроке про маятник.

Частые ошибки

Думать, что период зависит от амплитуды. Для линейной пружины — нет; это уникальное свойство гармонического осциллятора.
Брать Эйлер для долгого прогона. Он раскрутит «вечную» пружину; нужен Верле или симплектический Эйлер.
Путать частоту ω (рад/с) и обычную частоту f (Гц). ω=2πf; в формулах физики обычно фигурирует именно ω.

Итоги

Гармонический осциллятор — модель любой системы вблизи равновесия.
Линейная сила -kx даёт синусоиду с периодом 2π/ω, не зависящим от амплитуды.
Энергия перетекает между кинетической и потенциальной, сумма постоянна.
Фазовый портрет — замкнутый эллипс; Верле сохраняет его форму.