Кванты численно: частица в яме

Уравнение Шрёдингера на сетке: дискретные уровни энергии частицы в яме.

Частица в потенциальной яме может иметь лишь дискретный набор энергий (уровней) — это квантование; численно уровни находят, дискретизируя уравнение Шрёдингера.

Зачем считать кванты численно

Квантовая механика описывается уравнением Шрёдингера. Для пары идеализированных задач (частица в яме, гармонический осциллятор, атом водорода) есть точные решения, но для реальных молекул и материалов — нет. Поэтому вся вычислительная химия и физика материалов решают Шрёдингера численно. Метод тот же, что для тепла и волн: дискретизация на сетке и конечные разности.

Квантование как собственные значения

Для частицы в бесконечной яме шириной L точные уровни энергии: E_n = n²·π²·ħ²/(2mL²) — растут как квадрат номера. В единицах ħ=m=L=1 это просто E_n = n²·π²/2. Численно стационарное уравнение Шрёдингера на сетке превращается в задачу о собственных значениях матрицы (дискретного оператора энергии). Для нашей простой ямы эти значения известны в замкнутом виде, и можно сравнить дискретные уровни с точными:

import math
N = 50
dx = 1.0/(N+1)
print("Уровни энергии частицы в яме (ħ=m=L=1):")
print(" n   E_числ     E_точн=n²π²/2   ошибка")
for n in range(1, 6):
    lam = (1.0/dx**2) * (1 - math.cos(n*math.pi/(N+1)))
    E_num = lam
    E_exact = (n*math.pi)**2 / 2
    print(f" {n}   {E_num:7.3f}    {E_exact:7.3f}      {abs(E_num-E_exact):.3f}")
print("Дискретизация воспроизводит уровни n²π²/2.")

Вывод:

Уровни энергии частицы в яме (ħ=m=L=1):
 n   E_числ     E_точн=n²π²/2   ошибка
 1     4.933      4.935      0.002
 2    19.714     19.739      0.025
 3    44.287     44.413      0.126
 4    78.558     78.957      0.399
 5   122.398    123.370      0.972
Дискретизация воспроизводит уровни n²π²/2.

Численные уровни энергии отлично совпадают с точными n²π²/2: первый — около 4.93, второй — около 19.7 (вчетверо больше, как n²), и так далее. Точность падает для высоких уровней — это естественно: грубая сетка хуже разрешает быстро осциллирующие волновые функции верхних состояний. Чтобы их уточнить, нужна более мелкая сетка.

Что значат эти уровни

Главный квантовый результат: энергия не непрерывна, а квантована. Частица в яме не может иметь произвольную энергию — только значения из дискретного набора. Это объясняет линейчатые спектры атомов (электрон прыгает между уровнями, излучая фотон строго определённой частоты), стабильность атомов и устройство полупроводников. И всё это — следствие того, что волновая функция должна обращаться в ноль на стенках ямы, а помещаться там может лишь целое число полуволн.

Как работает под капотом

Стационарное уравнение Шрёдингера -ħ²/2m·ψ'' + V·ψ = E·ψ на сетке становится матричным уравнением H·ψ = E·ψ, где H — трёхдиагональная матрица (вторая разность плюс потенциал на диагонали). Собственные значения E этой матрицы — уровни энергии, собственные векторы ψ — волновые функции. Для нашей ямы матрица имеет известный спектр, поэтому мы обошлись формулой; для произвольного потенциала V(x) собственные значения ищут численно (методами линейной алгебры). Так считают энергии молекул, зонные структуры кристаллов и многое в квантовой химии — связь с курсом про квантовые вычисления здесь прямая.

Частые ошибки

• Ждать одинаковой точности для всех уровней. На фиксированной сетке высокие уровни считаются грубее — нужна мельче сетка.
• Забыть граничные условия ψ=0 на стенках. Они и порождают квантование; без них спектр непрерывен.
• Считать, что численный спектр точен. Дискретизация всегда вносит ошибку, растущую с номером уровня.

Итоги

• Шрёдингера решают на сетке как задачу о собственных значениях матрицы.
• Энергия частицы в яме квантована: E_n = n²π²/2 (в единицах ħ=m=L=1).
• Численные уровни совпадают с точными, точность падает для высоких n.
• Квантование объясняет спектры атомов и устройство материалов.