Распределение Максвелла-Больцмана

Как из хаоса столкновений рождается универсальное распределение скоростей газа.

Распределение Максвелла-Больцмана — закон, описывающий, как скорости молекул газа распределены при заданной температуре: мало очень медленных и очень быстрых, большинство — около характерной скорости.

Откуда берётся распределение

В газе при равновесии молекулы движутся с самыми разными скоростями. Но не как попало: распределение скоростей всегда одно и то же — максвелловское, зависящее только от температуры. Удивительно, что эта универсальная форма возникает сама из хаоса столкновений, независимо от того, с каких скоростей мы стартовали. Это глубокое проявление термодинамического равновесия.

Эксперимент: равновесие из одинаковых скоростей

Зададим всем частицам одинаковую скорость (но случайные направления) и позволим им многократно «сталкиваться», обмениваясь скоростями с сохранением энергии и импульса пары. Посмотрим, к какому распределению придёт система:

import random, math
random.seed(11)
N = 1000
vx = [0.0]*N; vy = [0.0]*N
for k in range(N):
    a = random.uniform(0, 2*math.pi)
    vx[k] = math.cos(a); vy[k] = math.sin(a)
def collide(a, b):
    cmx = (vx[a]+vx[b])/2; cmy = (vy[a]+vy[b])/2
    rx = vx[a]-cmx; ry = vy[a]-cmy
    r = math.hypot(rx, ry)
    ang = random.uniform(0, 2*math.pi)
    vx[a]=cmx+r*math.cos(ang); vy[a]=cmy+r*math.sin(ang)
    vx[b]=cmx-r*math.cos(ang); vy[b]=cmy-r*math.sin(ang)
for _ in range(50000):
    a = random.randrange(N); b = random.randrange(N)
    if a != b: collide(a, b)
speeds = [math.hypot(vx[k], vy[k]) for k in range(N)]
bins = [0]*8
for sp in speeds:
    bins[min(int(sp/0.4), 7)] += 1
print("Старт: у всех одинаковая скорость. После столкновений —")
print("распределение Максвелла-Больцмана:")
for i, c in enumerate(bins):
    lo = i*0.4
    print(f"v in [{lo:.1f},{lo+0.4:.1f})  {'*'*(c//8)} {c}")
print(f"Средняя скорость: {sum(speeds)/N:.3f}")

Вывод:

Старт: у всех одинаковая скорость. После столкновений —
распределение Максвелла-Больцмана:
v in [0.0,0.4)  **************** 132
v in [0.4,0.8)  ******************************************* 345
v in [0.8,1.2)  ************************************ 293
v in [1.2,1.6)  ****************** 151
v in [1.6,2.0)  ******** 64
v in [2.0,2.4)  * 12
v in [2.4,2.8)   3
v in [2.8,3.2)   0
Средняя скорость: 0.891

Из абсолютно одинаковых скоростей родилось колоколообразное распределение: пик в середине, длинный «хвост» быстрых частиц и мало совсем медленных. Это и есть форма Максвелла-Больцмана. Система «забыла» начальное состояние и пришла к универсальному равновесию — направленному только температурой. Энергия при этом строго сохранилась (каждое столкновение её хранит).

Характерные скорости

У распределения три важные скорости: наиболее вероятная (пик), средняя и среднеквадратичная — все они пропорциональны √(T/m). Отсюда практические выводы: при нагреве распределение «расплывается» вправо (молекулы быстрее), а лёгкие молекулы (водород) при той же температуре движутся быстрее тяжёлых (кислород). Поэтому лёгкие газы легче покидают атмосферу планеты.

Как работает под капотом

Почему именно эта форма? Распределение Максвелла-Больцмана — это состояние максимальной энтропии при фиксированной энергии. Среди всех способов распределить заданную суммарную энергию по частицам максвелловский — самый «вероятный», его реализует подавляющее большинство микросостояний. Столкновения хаотично перемешивают энергию между частицами, и система неизбежно сползает к самому вероятному распределению. Это микроскопическая суть второго начала термодинамики: предоставленная себе система идёт к максимуму энтропии.

Частые ошибки

• Ждать симметричного (гауссова) распределения модулей скорости. Распределение модулей несимметрично: есть длинный хвост вправо, нуля скорости почти нет.
• Не сохранять энергию при столкновении. Если обмен скоростями не консервативен, система «нагреется» или «остынет» искусственно.
• Мерить распределение до равновесия. Нужно много столкновений, чтобы система забыла начальное состояние.

Итоги

• Скорости молекул в равновесии распределены по Максвеллу-Больцману.
• Эта форма возникает из хаоса столкновений независимо от старта.
• Характерные скорости пропорциональны √(T/m).
• Распределение — состояние максимальной энтропии: суть второго начала.