Модель Изинга и фазовый переход

Жемчужина курса: как из переворотов спинов рождается магнетизм и фазовый переход.

Модель Изинга — решётка спинов (±1), каждый из которых стремится выстроиться вдоль соседей; при понижении температуры она претерпевает фазовый переход из хаоса в упорядоченное намагниченное состояние.

Магнетизм из простейших правил

Почему железо намагничивается при охлаждении, а при нагреве выше точки Кюри теряет магнитные свойства? Модель Изинга — простейшая система, объясняющая это. Представьте решётку маленьких магнитиков-спинов, каждый смотрит вверх (+1) или вниз (-1). Спины «хотят» совпасть с соседями (это снижает энергию), но тепловые колебания их сбивают. Исход борьбы порядка и хаоса зависит от температуры.

Алгоритм Метрополиса

Как симулировать такую систему? Прямой перебор всех состояний невозможен (их 2^(L²)). Здесь и нужен Монте-Карло — алгоритм Метрополиса. Логика: выбираем случайный спин, считаем, как изменится энергия при его перевороте. Если переворот снижает энергию — принимаем всегда. Если повышает — принимаем с вероятностью e^(-ΔE/kT). Так система с одной стороны стремится к минимуму энергии, с другой — тепло иногда «толкает» её вверх:

import random, math
random.seed(2026)
L = 16
def run(T, sweeps=200):
    s = [[1 if random.random()<0.5 else -1 for _ in range(L)] for _ in range(L)]
    beta = 1.0/T
    for _ in range(sweeps):
        for _ in range(L*L):
            i = random.randrange(L); j = random.randrange(L)
            nb = (s[(i+1)%L][j] + s[(i-1)%L][j]
                  + s[i][(j+1)%L] + s[i][(j-1)%L])
            dE = 2*s[i][j]*nb
            if dE <= 0 or random.random() < math.exp(-beta*dE):
                s[i][j] = -s[i][j]
    return abs(sum(sum(row) for row in s))/(L*L)
print("Модель Изинга 16x16, алгоритм Метрополиса")
print("Критическая температура Tc ≈ 2.27")
print(" T     |намагниченность|")
for T in (1.0, 1.5, 2.0, 2.27, 2.5, 3.0, 4.0):
    M = run(T)
    print(f"{T:4.2f}   {M:.3f}  {'#'*int(M*30)}")

Вывод:

Модель Изинга 16x16, алгоритм Метрополиса
Критическая температура Tc ≈ 2.27
 T     |намагниченность|
1.00   1.000  ##############################
1.50   0.992  #############################
2.00   0.914  ###########################
2.27   0.102  ###
2.50   0.109  ###
3.00   0.203  ######
4.00   0.141  ####

Перед нами фазовый переход, родившийся из простых правил. При низкой температуре (T=1.0) намагниченность равна 1 — все спины выстроены, это магнит. С ростом T порядок слабеет, и около критической температуры Tc≈2.27 намагниченность резко падает почти до нуля: спины разупорядочились, магнетизм исчез. Это вычислительная модель точки Кюри железа.

Что такое фазовый переход

Фазовый переход — это резкое качественное изменение состояния вещества при плавном изменении параметра (здесь — температуры). Лёд-вода, магнит-немагнит, сверхпроводимость. Поразительно, что простейшая модель Изинга воспроизводит саму суть явления: ниже Tc система коллективно упорядочена, выше — хаотична, а переход между ними резкий, а не плавный. Точное значение Tc=2/ln(1+√2)≈2.269 было вычислено Онсагером аналитически — и наша симуляция его подтверждает.

Как работает под капотом

Глубина модели — в коллективном поведении. Каждый спин взаимодействует лишь с четырьмя соседями (локально), но вблизи Tc возникают корреляции на всю решётку: переворот одного спина способен повлиять на всю систему. Это критическое явление — спонтанное возникновение дальнего порядка из ближних взаимодействий. Множитель Больцмана e^(-ΔE/kT) в алгоритме Метрополиса — это сердце статистической физики: он задаёт вероятность состояния с энергией ΔE при температуре T, обеспечивая правильное термодинамическое равновесие.

Частые ошибки

• Забыть периодические границы. Спины на краю должны видеть соседей с противоположной стороны (тор), иначе края искажают переход.
• Не дать системе прийти в равновесие. Первые «развёртки» (sweeps) — переходный процесс; намагниченность мерят после установления.
• Считать ΔE неверно. Для переворота спина ΔE = 2·s·(сумма соседей) — энергия зависит только от локального окружения.

Итоги

• Модель Изинга — решётка спинов, стремящихся выстроиться вдоль соседей.
• Алгоритм Метрополиса принимает переворот по вероятности e^(-ΔE/kT).
• При Tc≈2.27 происходит фазовый переход магнит-немагнит.
• Из локальных правил рождается коллективный дальний порядок (критическое явление).