Энтропия, равновесие и стрела времени

Почему время течёт в одну сторону: энтропия и необратимость в симуляции.

Энтропия — мера числа микроскопических состояний, отвечающих данному макроскопическому; изолированная система самопроизвольно эволюционирует к состоянию с наибольшей энтропией.

Стрела времени

Уравнения механики обратимы во времени: если снять фильм движения молекул и пустить его назад, физика не нарушится. Но в жизни время явно течёт в одну сторону: чашка разбивается, но не собирается; газ заполняет комнату, но не собирается в углу. Откуда берётся эта стрела времени, если законы симметричны? Ответ дала статистическая физика: дело в энтропии и вероятности.

Опыт: газ заполняет объём

Классический мысленный эксперимент: все молекулы газа собраны в левой половине коробки, перегородку убирают. Газ расширяется и заполняет весь объём — и никогда сам не возвращается в левую половину. Промоделируем долю частиц слева:

import random
random.seed(5)
N = 1000
side = [0]*N
print("шаг   частиц слева   доля")
for step in range(0, 2001):
    if step % 400 == 0:
        left = N - sum(side)
        print(f"{step:4d}      {left:4d}        {left/N:.3f}")
    for _ in range(N):
        k = random.randrange(N)
        side[k] = 1 if random.random() < 0.5 else 0
print("Газ равномерно заполнил обе половины — назад не собирается.")

Вывод:

шаг   частиц слева   доля
   0      1000        1.000
 400       514        0.514
 800       531        0.531
1200       479        0.479
1600       499        0.499
2000       512        0.512
Газ равномерно заполнил обе половины — назад не собирается.

Газ быстро пришёл к равному распределению (около 50% слева) и держится около него, флуктуируя. Вернуться всем в левую половину он теоретически может, но вероятность этого — 1/2^1000, число настолько малое, что не случится за миллиарды возрастов Вселенной. Необратимость — не запрет, а ошеломляющая невероятность обратного.

Энтропия как счёт состояний

Формула Больцмана: S = k·ln(W), где W — число микросостояний (расположений частиц), дающих данную макрокартину. Состояние «все слева» реализуется единственным способом (W=1), а «поровну» — астрономическим числом способов. Система идёт туда, где способов больше, потому что туда ведёт подавляющее большинство путей. Энтропия растёт не по «закону-запрету», а по статистике: равновесие — это просто самое многочисленное макросостояние.

Как работает под капотом

Второе начало термодинамики (энтропия изолированной системы не убывает) — статистическое, а не абсолютное. На уровне отдельных молекул процессы обратимы, и крошечные флуктуации энтропии вниз случаются постоянно (в выводе доля колеблется около 0.5, иногда 0.49, иногда 0.51). Но макроскопическое уменьшение энтропии — например, спонтанный сбор газа в угол — статистически невозможно из-за гигантского числа частиц. Стрела времени — следствие того, что мы стартовали из крайне маловероятного упорядоченного состояния (Вселенная началась с низкой энтропии), и с тех пор она лишь растёт.

Частые ошибки

• Считать рост энтропии абсолютным законом. Это статистическая тенденция; малые флуктуации вниз нормальны и видны в симуляции.
• Путать энтропию с «беспорядком» буквально. Точнее — это число доступных микросостояний; «беспорядок» лишь грубая аналогия.
• Думать, что необратимость нарушает обратимые уравнения. Уравнения обратимы; необратимость рождается из вероятности и числа частиц.

Итоги

• Стрела времени рождается из статистики, а не из необратимых уравнений.
• Энтропия S=k·ln W — логарифм числа микросостояний.
• Система идёт к равновесию, потому что туда ведёт большинство путей.
• Второе начало статистично: обратное не запрещено, а невероятно.