Упругие и неупругие столкновения

Что сохраняется при ударе: импульс всегда, энергия — только при упругом.

Упругое столкновение сохраняет и импульс, и кинетическую энергию; неупругое — только импульс, часть энергии уходит в тепло и деформацию.

Два закона сохранения

При любом столкновении (если нет внешних сил) суммарный импульс сохраняется — это фундаментально, следствие третьего закона Ньютона. А вот кинетическая энергия сохраняется не всегда. Если тела отскакивают без потерь (бильярдные шары, атомы) — удар упругий, энергия сохраняется. Если деформируются, слипаются, греются (пластилин, автомобили) — удар неупругий, часть энергии теряется.

Формулы упругого удара

Для лобового упругого удара двух тел скорости после столкновения находят, решив систему из двух уравнений сохранения:

u1 = ((m1-m2)·v1 + 2·m2·v2) / (m1+m2)
u2 = ((m2-m1)·v2 + 2·m1·v1) / (m1+m2)

Проверим эти формулы и заодно убедимся, что оба закона сохранения выполнены, а для неупругого случая увидим потерю энергии:

def elastic_1d(m1, v1, m2, v2):
    u1 = ((m1-m2)*v1 + 2*m2*v2)/(m1+m2)
    u2 = ((m2-m1)*v2 + 2*m1*v1)/(m1+m2)
    return u1, u2
m1, v1, m2, v2 = 2.0, 3.0, 1.0, -1.0
print(f"До:  тело1 (m={m1}, v={v1}),  тело2 (m={m2}, v={v2})")
p0 = m1*v1 + m2*v2
E0 = 0.5*m1*v1**2 + 0.5*m2*v2**2
u1, u2 = elastic_1d(m1, v1, m2, v2)
print(f"После: тело1 v={u1:.3f},  тело2 v={u2:.3f}")
print(f"Импульс:  {p0:.3f} -> {m1*u1 + m2*u2:.3f}")
print(f"Энергия:  {E0:.3f} -> {0.5*m1*u1**2 + 0.5*m2*u2**2:.3f}")
vc = (m1*v1 + m2*v2)/(m1+m2)
Einel = 0.5*(m1+m2)*vc**2
print(f"\nНеупругий (слиплись): общая v={vc:.3f}")
print(f"Энергия:  {E0:.3f} -> {Einel:.3f} (потеряно {E0-Einel:.3f})")

Вывод:

До:  тело1 (m=2.0, v=3.0),  тело2 (m=1.0, v=-1.0)
После: тело1 v=0.333,  тело2 v=4.333
Импульс:  5.000 -> 5.000
Энергия:  9.500 -> 9.500

Неупругий (слиплись): общая v=1.667
Энергия:  9.500 -> 4.167 (потеряно 5.333)

В упругом случае импульс (5.0) и энергия (9.5) сохранились оба. В неупругом тела слиплись и движутся с общей скоростью 1.667 — импульс тот же, но энергия упала с 9.5 до 4.167. Потерянные 5.333 единицы ушли в тепло и деформацию. Это объясняет, почему при аварии важна сминаемость кузова: она поглощает энергию, которая иначе досталась бы пассажирам.

Коэффициент восстановления

Реальные удары между двумя крайностями. Их описывают коэффициентом восстановления e (от 0 до 1): отношение скорости разлёта к скорости сближения. e=1 — идеально упругий, e=0 — абсолютно неупругий (слипание), промежуточные значения — частичная потеря энергии. Мяч, отскакивающий на 70% высоты, имеет e≈√0.7≈0.84.

Как работает под капотом

Почему импульс сохраняется всегда, а энергия — нет? Импульс связан с симметрией пространства (однородностью): законы физики одинаковы везде, и это по теореме Нётер даёт сохранение импульса при любом взаимодействии. Энергия же сохраняется в системе целиком, но кинетическая её часть может переходить в другие формы — тепловое движение молекул, звук, деформацию. «Потерянная» при неупругом ударе энергия никуда не исчезает, она просто становится невидимой кинетической энергией хаотического движения атомов, то есть теплом.

Частые ошибки

• Считать, что энергия сохраняется при любом ударе. Только при упругом; неупругий теряет кинетическую энергию.
• Забывать про знаки скоростей. Тела, летящие навстречу, имеют скорости разных знаков; ошибка в знаке портит весь расчёт.
• Путать «энергия исчезла» и «перешла в тепло». Полная энергия сохраняется, теряется лишь её механическая часть.

Итоги

• Импульс сохраняется при любом столкновении, энергия — только при упругом.
• Формулы упругого удара решают систему двух законов сохранения.
• Неупругий удар переводит часть энергии в тепло и деформацию.
• Коэффициент восстановления e описывает реальные удары между крайностями.