Закон Паскаля и гидравлический пресс

Урок о том, как малой силой поднять автомобиль — принцип гидравлического пресса.

Закон Паскаля: давление, приложенное к покоящейся жидкости в замкнутом сосуде, передаётся во все точки жидкости без изменения.

Этот закон превращает гидравлику в усилитель силы. Домкрат, тормоза автомобиля, пресс на заводе, ковш экскаватора — все они работают на одном принципе передачи давления.

Суть закона

Если на жидкость в закрытом объёме надавить поршнем, создав давление $p$, то это давление одинаково во всех точках жидкости (если пренебречь высотой столба). Жидкость несжимаема и передаёт давление мгновенно и без потерь.

Гидравлический пресс

Соединим два цилиндра трубкой: малый поршень площадью $A_1$ и большой площадью $A_2$. Давление под обоими поршнями одинаково:

$$ p = \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} $$

Отсюда выигрыш в силе:

$$ F_2 = F_1\, \frac{A_2}{A_1} $$

Если большой поршень в $100$ раз больше по площади, малая сила вырастает в $100$ раз. Но закон сохранения энергии не обманешь: во столько же раз меньше путь большого поршня. Это «золотое правило механики» в гидравлическом исполнении:

$$ F_1\, s_1 = F_2\, s_2 $$

Считаем домкрат

Малый поршень имеет диаметр $20\ \text{мм}$, большой — $120\ \text{мм}$. На рукоятку давят с силой $300\ \text{Н}$. Какую массу поднимет домкрат и на сколько опустится малый поршень, чтобы большой поднялся на $5\ \text{мм}$?

import math

F1 = 300.0       # Н, сила на малом поршне
d1 = 0.02        # м
d2 = 0.12        # м
s2 = 0.005       # м, ход большого поршня

A1 = math.pi * (d1 / 2) ** 2
A2 = math.pi * (d2 / 2) ** 2

F2 = F1 * A2 / A1          # сила на большом поршне
mass = F2 / 9.81           # масса груза, кг
s1 = s2 * A2 / A1          # ход малого поршня

print(round(F2, 1))
print(round(mass, 1))
print(round(s1 * 1000, 1))   # мм

Вывод:

10800.0
1100.9
180.0

Сила $300\ \text{Н}$ превратилась в $10{,}8\ \text{кН}$ — домкрат поднимет больше тонны. Но чтобы поднять груз на $5\ \text{мм}$, малый поршень должен пройти $180\ \text{мм}$. Выигрыш в силе равен проигрышу в пути.

Как работает под капотом

Несжимаемость — вот что делает пресс возможным. Когда малый поршень вдавливает в систему объём жидкости $A_1 s_1$, ровно такой же объём $A_2 s_2$ выдавливается под большим поршнем, ведь сжать жидкость нельзя. Равенство объёмов и даёт обратную пропорцию ходов. А равенство давлений по закону Паскаля даёт прямую пропорцию сил. Энергия (работа $F s$) при этом сохраняется — система ничего не создаёт из ничего, она лишь перераспределяет силу и путь.

Частые ошибки

Считают, что пресс «создаёт» энергию — нет, работа сохраняется.
Берут отношение диаметров вместо отношения площадей (площадь $\propto d^2$).
Забывают про потери на трение и сжимаемость уплотнений в реальном прессе.
Путают, какой поршень проходит больший путь (малый).

Итог

Закон Паскаля: давление в замкнутой жидкости передаётся во все точки одинаково.
Гидравлический пресс даёт выигрыш в силе $F_2 = F_1 A_2/A_1$.
Выигрыш в силе равен проигрышу в пути: $F_1 s_1 = F_2 s_2$.
Площадь растёт как квадрат диаметра — учитывайте это при оценке выигрыша.