Манометры и измерение давления

Урок о простых, но точных приборах, которые измеряют давление высотой столба жидкости.

Жидкостный манометр — прибор, измеряющий давление по высоте столба жидкости, уравновешивающего измеряемое давление.

Прежде чем считать потоки, давление нужно измерить. Самые наглядные приборы для этого — жидкостные манометры. Они прямо воплощают закон гидростатики $p = \rho g h$ и до сих пор служат эталоном.

Пьезометр

Простейший манометр — пьезометр: открытая сверху вертикальная трубка, врезанная в трубопровод. Жидкость поднимается в ней на высоту $h$, при которой вес столба уравновешивает измеряемое избыточное давление:

$$ p_{\text{изб}} = \rho g h $$

Высота столба прямо даёт давление. Пьезометр прост и точен, но годится лишь для небольших давлений — иначе трубка вышла бы слишком длинной.

U-образный манометр

Для больших давлений берут U-образную трубку с тяжёлой затворной жидкостью (часто ртутью, $\rho_м \approx 13600\ \text{кг/м}^3$). Измеряемое давление продавливает жидкость, и по разности уровней $\Delta h$ в коленах находят давление. Если над ртутью в измерительном колене стоит лёгкая жидкость плотности $\rho_ж$ высотой $h_1$, уравнение равновесия по горизонтальному уровню даёт:

$$ p = \rho_м\, g\, \Delta h - \rho_ж\, g\, h_1 $$

Тяжёлая ртуть позволяет компактной трубкой мерить большие давления: при $\Delta h = 0{,}5\ \text{м}$ ртути давление превышает половину атмосферы.

Считаем показания манометров

import math

g = 9.81
rho_water = 1000.0
rho_merc = 13600.0

# пьезометр: вода поднялась на 3,2 м
h_piezo = 3.2
p_piezo = rho_water * g * h_piezo

# U-манометр: разность уровней ртути 0,5 м (без лёгкого столба)
dh = 0.5
p_u = rho_merc * g * dh

print(round(p_piezo / 1000, 2))   # кПа
print(round(p_u / 1000, 2))       # кПа
print(round(p_u / 1e5, 3))        # бар

Вывод:

31.39
66.71
0.667

Пьезометр со столбом воды $3{,}2\ \text{м}$ показывает $31{,}4\ \text{кПа}$, а компактный ртутный U-манометр с разностью уровней всего $0{,}5\ \text{м}$ — уже $66{,}7\ \text{кПа}$ ($0{,}67\ \text{бар}$). Ртуть в $13{,}6$ раза тяжелее воды, поэтому короткий столб уравновешивает большее давление.

Дифференциальный манометр

Дифференциальный манометр измеряет разность давлений между двумя точками.

Его подключают к обеим точкам (например, до и после сужения), и разность уровней затворной жидкости даёт перепад давления $\Delta p$. Именно так снимают перепад для расходомера Вентури из раздела про Бернулли:

$$ \Delta p = (\rho_м - \rho_ж)\, g\, \Delta h $$

Здесь вычитается плотность рабочей жидкости, потому что она давит на затворную жидкость с обеих сторон.

Как работает под капотом

Все жидкостные манометры работают по одному принципу: давление переводится в высоту столба через гидростатику. Ключевая идея при их расчёте — выбрать горизонтальный уровень, проходящий по сплошной затворной жидкости, и приравнять давления в обоих коленах на этом уровне (закон сообщающихся сосудов). Каждый столб жидкости над этим уровнем добавляет своё $\rho g h$. Складывая и вычитая эти вклады, получают уравнение равновесия. Чувствительность прибора задаёт плотность затворной жидкости: лёгкая (вода, спирт) даёт большие, легко читаемые отклонения для малых давлений, тяжёлая (ртуть) — компактность для больших.

Частые ошибки

Забывают вычесть столб рабочей жидкости над ртутью в U-манометре.
Путают абсолютное и избыточное давление: пьезометр меряет избыточное.
В дифференциальном манометре берут $\rho_м$ вместо разности $(\rho_м - \rho_ж)$.
Неправильно выбирают горизонтальный уровень для уравнения равновесия.

Итог

Жидкостные манометры переводят давление в высоту столба по закону $p = \rho g h$.
Пьезометр прост, но годен лишь для малых давлений.
U-манометр с тяжёлой жидкостью (ртуть) компактен и мерит большие давления.
Дифференциальный манометр даёт перепад: $\Delta p = (\rho_м - \rho_ж)\,g\,\Delta h$.